摘要：计算方法是研究各种数学问题数值解法及其理论的一门学科，既有纯数学的高度抽象性与严密科学性，又有与实际问题密切结合的广泛应用性。文章对学生分析问题和解决问题的应用能力培养进行探讨，提出教学改革的若干具体方法。
关键词：应用能力；计算方法；教学方法；改革
自然科学、工程技术、经济和医学等领域中的很多实际问题都可用数学语言描述为数学问题，或者说是由实际问题建立数学模型，然而许多数学问题得不到精确解，需要借助计算机寻求近似解。因此，在科学计算中利用计算机求解各种数学问题及相关基础理论知识，已成为大多数理工科高等院校学生必备的技能，是学生能力培养的重要组成部分。计算方法就是研究如何运用计算机解决数学问题的方法及其相关理论的一门学科。
1 计算方法课程的特点
计算方法是横跨计算数学与计算机学科的交叉学科。随着计算机技术的飞速发展，数值计算方法在工程技术领域的应用日趋广泛，并且已成为数学与计算机之间的桥梁，其重要性不言而喻。在教学过程中，笔者认为计算方法课程特点表现为“三多、三难”。
1）涉及数学知识多，学生学习难度大。
计算方法涉及高等数学和线性代数的知识，讨论的问题是如何把实际的数学模型转化为可解的数学模型，因此它归根结底是一门数学课程，是数学方法的伸延。计算方法算法公式推导和定理证明涉及数学知识多，再加上有些学生数学基础不扎实，认为计算方法比较枯燥且不易理解，导致学生较难开拓思维和掌握该课程知识，因而感觉学习难度大。
2）教学内容多，教师教学难度大。
计算方法课程内容丰富、概念多，涉及领域广，其内容主要包括数值代数、数值逼近和常微分方程数值解法，涵盖数值计算方法的基本原理和基本理论，涉及算法的构造、应用以及算法的收敛性、稳定性和误差分析等，具有数学类课程的抽象性和严谨性，其理论性和实践性较强，使得教师的教学难度大。
3）数值算法多，学生编程实现难度大。
计算方法数值算法多，许多数学模型无法用解析法得到解，必须将连续的数学模型离散化，并利用某种程序设计语言或计算机软件求得数值的近似解，才能使问题得以解决，既有理论又有实践，既讲方法又讲动手能力。计算方法课程注重基于计算机考虑问题的求解方法，强调数值算法的设计思想、程序实现及其应用，因此对于稍微复杂的一些算法，学生编程实现难度大。
面对“三多、三难”现象，如何在有限的课时内让学生学好该课程，如何把实际数学模型转化为可解的数学模型，如何使学生在了解一些重要数值计算方法的同时，掌握计算方法的基本思想和基本技巧，学会计算方法的误差分析和使用不同的数值计算方法解决实际问题，能够编出程序并上机算出结果，提升实际应用能力，是我们必须面对并努力解决的问题。
2 教学改革
2.1 教材和教学内容的改革
1）教材建设。
教材应根据教学内容编写，因此计算方法教材应围绕常用的数值计算方法及基础理论、算法及实现等内容，注重提高学生的基础训练与综合素质。笔者围绕“引入问题一理论分析—具体实践”主线自编计算方法教材，在2005年由科学出版社以“面向21世纪高等院校计算机系列规划教材”出版，并在2011年出版修订版。
该教材力图体现计算思维能力的培养，强调构造算法的基本思想、基本原理和基本方法，突出算法的实际应用。教材内容思路清晰，理论难度适当，算法通俗易懂，对绝大部分的数值算法，均给出了算法实现步骤和流程图以及算法实现的c语言源代码，为编程困难的学生提供参考，也为优秀的学生提供一些启发，拓宽他们的思路。同时，该教材配有上机实践题，对学生实际动手能力和工程实践能力的提升起到了积极作用，也对教学内容的改革起到了良好的支撑作用，收到了良好的教学效果。
2）教学内容制订。
针对计算方法课程内容多、算法公式多、编程实现难的现状，依据教学大纲和应用型人才培养目标定位，教师在制订教学内容时需注意3点：①注重基础性，涵盖计算方法课程基本内容（如非线性方程和线性方程组数值解、插值与曲线拟合、数值积分与微分、常微分方程数值解等）；②跟踪前沿性，将一些现代的计算方法（如多层网格法、并行计算、神经网络等）融入教学内容，使学生在学习计算方法的同时，了解数值计算方法的现状及发展趋势，拓宽知识面；③融入若干工程计算的实际案例，方便学生借鉴，缩小教学内容与实际的距离。
2.2 教学方法的改革
围绕学生应用能力的培养，教师可以在教学过程中将课内讲授与课外自学相结合、重点精讲与非重点略讲相结合、理论教学与实践教学相结合、学生的基础训练与综合实践能力提高相结合，积极采用启发式、案例教学、PBL等各种教学方法，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生带着问题走进课堂，带着问题走出课堂，充分调动学生的学习积极性和主动性。
1）启发式教学，培养思维能力。
针对课程的难点和重点，教师在课程讲授过程中需注重教学内容表述的启发性，给学生留出想象空间，引导学生积极思维，启发学生自己去发展知识，变被动听课为主动学习，从而更好地掌握基本概念和课程要点，培养并锻炼思维能力。例如，对于非线性方程数值解可以先从让学生求解一元二次方程开始，因为学生对求根公式非常熟悉；对于3次以上的代数方程如何求根，有几个根，教师可先提出问题让学生思考，培养学生的思维能力，然后讲解非线性方程数值解的若干算法，培养学生“站在计算机角度”思考问题和解决问题的意识，这样才能够取得事半功倍的效果。
2）案例教学，提高学习积极性。
教师在讲解每一章时以实际案例开头，让学生设身处地思考、分析和讨论，使学生成为案例活动的主体。案例涵盖教学内容的主要知识点，与课程的基本理论相吻合，构成一个完整的课程内容体系。通过这些案例，学生能够明确学习目标及要掌握的基本技能，加深对教学内容的理解和把握。例如，教师在讲解曲线拟合的最小二乘法时，引入的案例是血药浓度问题，即研究人员为试验某种新药的疗效，对志愿者用快速静脉注射方式一次注入该药30毫克后，在8小时之内每隔20分钟采取一次血样，共测得24次血药浓度C微克/毫升数据，教师可让学生用最小二乘法确定血药浓度C与时间t的函数关系。
在对案例进行分析的过程中，教师可向学生说明如果用插值法会得到次数不高于23次的插值多项式，高次插值不仅计算繁琐，而且有可能出现龙格现象，由此引出曲线拟合最小二乘法原理的数学思想、数学方法及算法，这就变得顺理成章了。选取贴近实际的案例，使得计算方法与实际应用结合得更紧密，实现了计算方法课程与科学研究的零距离对接，可以提高学生学习积极性，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3）PBL教学，提升发展后劲。
PBL（Problem-based learning）即以问题为导向的教学方法，以学生为中心，以教师为主导，倡导以学生的主动学习为主，挖掘培养学生的自主学习和终身学习能力。首先，教师提出问题，引导学生分析问题的实质，然后学生分组探讨解决问题的思路，最后给出解决问题的方法。
教师主要引导学生朝着既定目标走，而不仅仅是信息和知识的传播者。由于教学资源和教学课时的限制，我们只在数值积分内容教学上采用PBL教学法，如将人造地球卫星运行轨道视为平面上的椭圆，让学生求卫星的轨道长度。对于缺乏学习主动性的学生，可适当给出提示（给出用椭圆参数方程描述人造地球卫星轨道长度的公式），引导学生在已有知识的基础上通过自我研究、学习和讨论，最终将求人造地球卫星运行轨道长度计算转化为求椭圆积分的数学公式。由于不能用解析法求解，学生可以通过阅读教材、查阅相关参考资料、进行小组讨论的方式，构造出求解问题数值近似解的方法，并自己设计算法、编写程序、上机调试，最后求出结果，既调动学习积极性与主动性，又培养发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.3 强化实践教学，突出动手能力
实践教学是实现“学生学了什么”向“学生会做什么”提升的有效途径。计算方法是一门实践性和应用性很强的基础课，要求学生既要掌握数值计算方法理论，又要学会借助计算机实现这些算法。教师可在实践教学中增加设计性和综合性实验的比例，这些实验在规模上有小、中、大之分，在难度上有低、中、高之分，在内容上既有基本要求，又有更高要求。为此，我们编写了计算方法实验教学大纲，包括非线性方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、插值与曲线拟合、数值积分、常微分方程初值问题数值解法6个实验项目；还编写了数值实验指导书，包括实验题目、实验目的、实验预备知识、实验内容和要求、算法描述、部分示例程序。
教师在实践教学过程中，可采用教师辅导、同学讨论、自主编程、分析比较结果相结合的方式。在每个实验中，对于同一个数值问题，都要求学生用2种以上的算法实现，以便比较数值计算方法的优劣，如误差估计、收敛性与收敛速度、稳定性、计算量和适用条件等。例如，求解线性方程组的迭代法数值解的经典算法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR法。我们选取2个线性方程组，第1个方程组用Jacobi迭代法求解收敛而用Gauss-Seidel迭代法求解发散，第2个线性方程组的求解恰好相反，对于任选一组初始值和给定的精度要求，分别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法计算，观察迭代次数与收敛情况，分析计算结果并写出结论。
在每次实验完成后，教师都要求学生按格式填写实验报告，包括源程序（带注释）、实验结果与分析总结（含运行结果截图），并通过网络教学平台（Blackboard）上传实验报告。实验指导教师批阅并给出单次实验成绩，将单次成绩汇总后形成实验成绩，占总成绩的20%。实验教学不仅让学生加深了对常用数值计算方法的理解，而且提高了程序设计能力、上机操作能力和工程实践能力。此外，我们还将实践教学环节拓展到课外，引导学生广泛开展课外研究学习活动，鼓励学生申报和参与创新性项目研究、课外科技兴趣小组、学科竞赛等活动，增强学生的可持续发展能力。
2.4 利用网络资源，丰富教学手段
校园网为教学搭建了高效平台。计算方法课程的所有教学资源均已纳入学校网络教学平台（Blackboard），该平台可以为学生提供一个学习时间充分、学习地点随意、知识信息整合的学习资源，实现学生自主、探究、个性化学习。该平台内容包括计算方法课程简介，教学大纲，实验教学大纲，课程课件，教案，课程案例，讲义，习题，习题解答，上机实验，答疑讨论，实验结果，报告上传，课程测试，C、C++、Matlab编程基础及其在计算方法中的应用，课外阅读，文献资料，外部链接等。
网络教学平台可以让教师在课后继续进行互动教学，及时回答和解决学生的疑点并提供实验指导；可以让学生自主学习，利用BBS讨论区讨论课堂上未能学懂的知识点，巩固学习要点，还可以在网上预习实验内容与要求，通过课外阅读拓展视野，在实现知识建构的同时提升自身能力。
3 结语
多年的教学实践证明，计算方法课程教学改革不仅能够调动学生学习的积极性与主动性，而且以实际问题为背景的案例式、启发式、PBL教学方法以及实践教学环节，可以使学生具备较强的动手能力，提高了学生运用所学知识解决实际问题的能力。今后，我们将不断努力探索，提高教学水平与教学质量，促进学生更好地掌握知识，增强就业竞争力和可持续发展能力。
参考文献：
[1]刘师少，计算方法[M].北京：科学出版社，2011：2。
[2]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会.高等学校计算机科学与技术专业实践教学体系与规范[M].北京：高等教育出版社。2008：13-39.
[3]石少婷，于静，左淑华.PBL+LBL教学法在药理学教学中的应用[J].药学教育，2008（6）：62.