摘要：本文根据《实变函数》的课程特点，提出利用比较教学法进行教学的思想，并且从不同的角度去比较，深入浅出、由浅入深，让学生在数学分析的基础上潜移默化地领会实变函数知识的精髓，达到由简驭繁的效果。
关键词：极限；可测集；可测函数；Lebesgue积分；开集
中图分类号：O174.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）09-0180-03
一、引言
《实变函数》是数学专业大三的专业必修课，论其难度，总是让很多师生望而生畏。然而，经过这几年的教学实践，笔者越来越体会到实变函数理论的精妙所在。分析的核心靠证明，证明的核心是其严密的理论。经过一年半到两年的《数学分析》的锻炼，学生们对分析类课程已经有了很深切的感受，首先是觉得不好理解，其次是因其非常严密的逻辑推理，不会理论证明。本文拟从《实变函数》教学中体会到的教学方法，从以下几个方面谈谈如何由浅入深、深入浅出，让学生在理解基本理論的基础上学会数学地思维，辩证地论证。
二、理论背景的比较
《实变函数》是《数学分析》的深化和扩展。《数学分析》有别于其他非数学类的高等数学，是分析学中最古老、最基本的分支。现行的大学本科教材都是以欧氏空间中的微积分学为主要研究内容，以极限原理为基础，得到了积分和级数的相关理论。实数集作为一个完备集，具备很多好的性质，比如柯西收敛准则、有界点列都有收敛子列、线性组合的极限等于极限的线性组合等。在欧式空间的理论框架下可以计算一个曲边梯形的面积及旋转体的体积等，这些理论构成了《数学分析》的知识体系。然而，随着数学家对函数问题研究的深入，发现了一些无法用《数学分析》的理论解释的问题。比如，发现了处处不可微的连续函数；连续函数Rieman可积，具备什么性质的不连续函数也Rieman可积；连续函数既然不一定可导，那么函数可导的充分必要条件又是什么呢？等等一系列的问题。数学家们逐渐发现了新的理论并形成了新的学科，即实变函数。《实变函数》着眼于一般距离空间中的微积分学，以实变函数作为研究对象，是数学分析的深入与推广，理论建立在实数理论和集合论的基础之上。其广泛应用集合论方法，以极限为所有理论的出发点，得到了诸如开集、闭集、完备集等拓扑概念。《实变函数》以《数学分析》为基础，将微积分学的相关理论发展到一般的距离空间，结合代数等课程的相关理论，建立了与《数学分析》相对应的一套抽象又严谨的数学理论。《实变函数》利用测度手段将连续函数扩展到可测函数，进而定义Lebesgue积分。连续函数对极限运算不封闭，但可测函数却对极限运算封闭，使得极限运算在Lebesgue积分中得到了广泛的应用。在极限与积分换序方面，Lebesgue积分也提供了Lebesgue控制收敛定理等比之Rieman积分中更弱的条件。
三、理论思维的比较
学生不要总把思维局限于《数学分析》完美的知识体系中，认为数学分析已经穷尽了微积分的所有理论，实数集就是最大的一个集合。数学分析基本针对连续函数，多重积分和多重微分换序计算也有很强的条件，而实变函数克服了这样的缺陷，将连续函数在测度的意义下扩展成为可测函数，很好地诠释了Lebesgue积分的构造思想，得到了在一般意义下积分换序的条件。说明Lebesgue积分比Rieman积分具有很好的极限性质。Rieman积分由对定义域的连续分划得到，先得到六类基本初等函数的积分计算，然后利用四则运算法则和复合函数的一些积分运算方法进行计算。而在Lebesgue利用测度的观点得到相应的积分定义后由于点集情况的复杂性，测度计算尚且是个问题，所以就只是从理论上阐释了积分和极限换序及复合函数积分的相关理论。比如两种积分的定义方式，可以如下表去理解。
分析的基础是点集理论，在讲授上下极限定义时不妨通过下表进行比较。
四、知识结构体系的比较
《数学分析》的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容。《实变函数》以抽象空间之间的映射作为研究对象，揭示了表面互不相关的数学对象的共同本质特征。实变函数的主要研究内容是Legesgue积分，涉及积分区域和被积函数，因此实变函数部分的内容分三大块进行。第一部分主要对点集进行了全面的分析，引入上限集下限集、集合的拓扑概念、重要的特征函数，最后定义了Rn上的Lebesgue测度。从量化的角度将长度、面积和体积进行了推广，搞清楚了点集之后才开始定义函数，所以第二大部分利用测度定义了可测函数，而可测函数基本上都是连续函数（Luzin定理），扩展了Rieman积分中被积函数的范围，为Lebesgue积分的定义打下了基础。有了积分区域和被积函数，这时候Lebesgue积分理论就应运而生了。1902年，Lebesgue在他的博士论文“积分、长度和面积”中第一次阐述了Lebesgue测度（简称（L）测度）和Lebesgue积分（简称（L）积分）的思想，推广了Borel测度，使得很多原来在Rieman意义下不可积的函数在Legesgue意义下变得可积了。与数学分析的思路相同，得到积分定义之后要研究积分和极限的换序问题，也充分体现了（L）积分的优势。用非负连续的阶梯函数逼近Rieman可积函数，用非负可测的简单函数逼近Lebesgue可积函数。简单函数是由特征函数做线性组合构成，而特征函数恰恰是构造阶梯函数的示性函数的推广。所有这些理论并不是凭空产生的，而是先验结论的后续扩展。
有了点集测度的定义和可测函数，很自然的就可以定义（L）积分。（R）积分和（L）积分的本质区别是分划的不同：（R）积分分割定义域，而（L）积分通过分割值域达到分割定义域的目的。显然根据映射的定义，前者的分割是后者的特殊情况。因此，如果在函数有界、积分区域有限的情况下，函数（R）可积，可推出函数（L）可积；函数（R）可积的充要条件是函数a.e.连续。对于这两种积分，有人做过这样一个比喻：有一堆钱，有一种人是堆成若干小堆然后一张一张加起来算总数；另一种人是把钱按面值进行分类，然后算出总数。前者就是（R）积分，后者就是（L）积分。这样理解起来就比较容易一些。
五、研究方法的比较——从师法自然到道法自然
数学分析在讲解Rieman积分的定义时直接分割定义域，而实变函数中讲解Lebesgue积分时通过分割值域达到分割定义域的目的，并且前者的分割方法成为后者分割中的一种特例，从而推导出在[a，b]闭区间上的连续函数Rieman可积，从而Lebesgue可积，这种自然的转换学生非常容易理解。还有聚点的讲解，联系数学分析中讲过的极限点的定义，将里面的两点之差取绝对值换成邻域的定义，然后聚点的定义就不难理解了。数学分析和实变函数理论的本质区别在于采取了不同的度量。实分析中将实数集中两点之差的绝对值扩展到一般的测度概念，从而定义了关于一般集合上的拓扑概念，并将数学分析中比较局限的可积函数域进行了扩充，减弱了积分和微分换序的条件。数学分析侧重讲连续函数的微积分学，而实分析将连续函数扩充成可测函数（去掉一个测度非常小的集合之外是一个连续函数）。将实数集上定义的特殊函数进行一般化处理，使得问题更符合实际。这些其实都是一种看似复杂抽象实则顺理成章的推广和扩展，真正体现了学科间的融合和深化，即从师法自然到道法自然的完美转换。
参考文献：
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