摘 要： 字符编码与信息压缩是计算机应用的重要研究课题，许多学者对此作了很多非常有价值的研究。文章简单分析了二叉哈夫曼树的构造及编码，通过比较三种构造三叉哈夫曼树的算法，提出了构造任意K叉哈夫曼树及K进制的最优前缀编码的算法，并给出C语言源程序，使哈夫曼编码的应用范围变得更为广阔。
关键词： 哈夫曼树； 三叉哈夫曼树； K叉哈夫曼树； 哈夫曼编码
中图分类号：TP312 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2013）09-41-02
1 二叉哈夫曼树[1-2]的构造算法
对于给定的数据序列，要生成带权路径长度最小的二叉树，应让权值越大的叶结点越靠近树根，权值越小的叶结点越远离树根。哈夫曼最早给出了一个具有一般规律的算法，称之为哈夫曼算法。
⑴ 根据给定的n个权值{W1，W2，W3，…，Wi，…，Wn}构成n棵二叉树的初始集合F={T1，T2，T3…，Ti，…，Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。
⑵ 在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树的根结点的权值之和。
⑶ 在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入到集合F中。
⑷ 重复⑵和⑶，直到集合F中只含有一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树。
2 三叉哈夫曼树构造的扩展算法
与哈夫曼算法类似，可以每次取三个根结点权值最小的树作子树，构造一棵新的三叉树，算法思路如下。
⑴ 根据给定的n个权值{W1，W2，W3，…，Wi，…，Wn}构成n棵三叉树的初始集合F={T1，T2，T3，…，Ti…，Tn}，其中每棵三叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左、中、右子树均为空。
⑵ 在F中选取三棵根结点的权值最小的树作为左、中、右子树构造一棵新的三叉树，且新得到的三叉树的根结点的权值为其左、中、右子树的根结点的权值之和。
⑶ 在F中删除这三棵树，同时将新得到的三叉树加入到集合F中。
⑷ 重复⑵和⑶，直到集合F中只含有一棵树为止[3]。
此算法由二叉哈夫曼算法扩展而来，因而将它称为三叉哈夫曼树构造的扩展算法。
3 k叉哈夫曼树的构造
设有n个信源符号，在传输过程中的概率分别是W1，W2，W3，…，Wn，将概率设为权值。k0=（n-1）mod（k-1），当k0=0时，（n-1）/（k-1）为整数，哈夫曼树中只有度为0和k的结点；当k0≠0，即（n-1）/（k-1）不为整数时，需添加k-1-k0个权值为0的结点。算法思路如下。
⑴ 作n棵树的集合F={T1，T2，T3，…，Ti，…，Tn}，每棵树Ti只有一个权值为Wi的根结点，且均无子女。
⑵ 计算k0=（n-1）mod（k-1）；若k0≠0，则添加k-1-k0个权值为0的结点，并作为k-1-k0棵树添加到F中，否则不用添加。
⑶ 在F中选k棵根结点权值最小的树作子树，构造一棵新的k叉树，其根结点的权值为所有子树根结点的权值之和，并在F中删除这k棵树，且将新得到的k叉树加入F中。
⑷ 重复⑶，直到F中只剩下一棵树为止。则该树即为k叉哈夫曼树。
4 用C语言[4-6]实现
4.1 存储结构
由树的孩子兄弟表示法及线索二叉树存储结构中标志域的启发，采用如下存储结构：
struct hlnode
{ float weight；
struct hlnode *llink；
struct hlnode *rlink；
int tag；
}
其结点的结构如图1所示。
[llink＼&weight＼&tag＼&rlink＼&]
图1 结点结构图
llink：指针，指向该结点的第一个孩子结点；
weight：记录该结点的权值；
tag：其取值为0，1，2，…，k-1；任一父结点，其第一个孩子结点到最后一个孩子结点的tag值按照k-1，k-2，…，2，1，0排列，这样每个结点的tag值还表示其最后一位编码的码值；
rlink：指针。
⑴ 当tag=0时，指向该结点的父结点，且该结点为其父结点的最后一个孩子即第k个孩子；
⑵ 当tag=n（n=k-1，k-2，…，2，1）时，指向该结点的下一个兄弟，且该结点为其父结点的第k-n个孩子。
可利用这种存储结构中所有叶子结点空的llink域将叶子结点按权值的升序连接成一个叶子的单链表leaf。这样在求编码时，沿着链表leaf的llink域可以迅速找到信源符号所在的叶子结点，然后再对叶子结点求编码。
4.2 算法描述[7-8]
K叉哈夫曼树的构造算法如下：
⑴ 建立一个带头结点的空链表L；
⑵ 读入n个信源符号的权值，并升序存入链表L中；
⑶ 计算k0=（n-1）mod（k-1）；若k0≠0，则在链表L的表头结点后插入k-1-k0个权值为0的结点；
⑷ 取链表L中的前k个结点作子树，产生一个新的结点作其父结点，父结点的权值为这k棵子树根结点的权值之和；
⑸ 将子树中的叶子结点链入链表leaf中，并从链表L中删除这k棵子树；
⑹ 将新产生的父结点按升序插入链表L中；
⑺ 重复⑷、⑸、⑹，直到链表L中除表头结点外只剩下一个结点为止，则该结点即为k叉哈夫曼树的树根结点；
⑻ 用指针r指向链表leaf的第一个结点；
⑼ 将当前指针r所指结点的tag值存入数组cd[]中，整型变量sp为当前结点的码值在数组中的位置；
（10） 通过rlink域找到当前结点的父结点，将其tag值存入数组cd[]中；
（11） 重复（10），直到到达根结点（即父结点为空的结点）为止，此时，sp为指针r所指结点的最后一位码值在数组中的位置，按位置的逆序将数组中存放的码值全部输出，即为指针r所指结点的哈夫曼编码。
（12） 将指针r后移，重复⑼、（10）、（11），直到所有叶子结点的编码皆已求出（即指针r为空）为止。
5 结束语
数据编码技术在计算机通信和信息压缩中一直占据着重要地位，依照哈夫曼树得到字符编码的算法作为通用的数据压缩方法，是大多数通用压缩程序的基础，并且往往作为压缩过程中的一个步骤。本文通过分析二叉哈夫曼树及三种三叉哈夫曼树的构造算法，提出了k叉哈夫曼树的构造算法，并得到k进制最优前缀编码。所求得的各叶子结点的代码长度虽不等，但最长不会超过分支点个数x（叶子结点的路径长度的最大值），而且k越大，平均编码长度会越短，对数据通信、信息压缩等领域有较大的促进作用，而且k可以是任何大于2的正整数，应用范围更为广阔。
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