工作计划有序实施，以提高码头的运作效率。本文的主要贡献在于运用新的方法——鲁棒优化的角度建模求解DCBAP问题。一方面，通过实验比较判断鲁棒优化方法应用于本问题的适用性，另一方面，为学术界开拓一个新的视角。
1 问题描述
泊位分配的流程为：船舶到港后先在锚地候泊，如果有空闲泊位且满足船舶的长度要求，则进入泊位，否则在指定区域等待；靠泊后需要等待岸桥等装卸机械及工人就绪后才能开始装卸作业；从船上将集装箱吊起，然后放在集装箱卡车上运往堆场，随后由龙门起重机将集装箱放入堆场中的指定位置。集装箱装船流程与此相反，如此往复，直至完成装卸，该船舶离港。
一个典型的集装箱码头泊位，可同时容纳多艘船舶，当没有空余的泊位时，船舶需要排队等待。为了简单起见，我们将船舶的等待时间和处理时间的总称为在港时间，我们的目标是为船舶分配泊位，并安排船舶使得总加权在港时间最小。
2 传统连续泊位分配模型
考虑泊位分配管理的一般性，本文建立动态泊位分配模型。假设每个泊位一次最多处理一艘船泊，装卸过程中不会中断操作并且泊位水深满足所有船只的停泊需求。基于以上问题的定义与假设，建立连续泊位分配模型。
2.1 参 数
在模型中，我们将连续的时间和空间离散成整数单元。其中i是船舶的索引，取值为1，2，…，N。对于每艘船舶i，定义：
S：连续泊位的长度；T：计划期长度；N：船舶总数；p：船舶i的处理时间；s：船舶i的大小，s包含了邻近船舶之间的相关数据；a：船舶i的到达时间；w：船舶i的分配权重，w是由港口运营商决定来代表船舶i优先的因素。
2.2 决策变量
u：船舶i的停泊时间；v：船舶i开始占用泊位的位置；c：船舶i离开的时间；m：在时间空间图里，如果船舶i完全在船舶j的左侧，则为1，否则，为0；k：在时间空间图里，如果船舶i完全在船舶j的下面，则为1，否则，为0。
2.3 目标函数
min∑wc-a （1）
目标函数（1）表示船舶总加权在港时间最短。
2.4 约束条件
u-u-p-m-1·T≥0 ？坌1≤i， j≤N， i≠j （2）
v-v-s-k-1·S≥0 ？坌1≤i， j≤N， i≠j （3）
m+m+k+k≥1 ？坌1≤i， j≤N， i≠j （4）
m+m≤1 ？坌1≤i， j≤N， i≠j （5）
k+k≤1 ？坌1≤i， j≤N， i≠j （6）
p+u=c ？坌1≤i≤N （7）
a≤u≤T-p， 0≤v≤S-s ？坌1≤i≤N （8）
m，k∈0，1 ？坌1≤i， j≤N， i≠j （9）
约束（2）和（3）对决策变量m和k进行了定义。约束（4）～（6）确保了船舶i和j在时间空间图中不会重叠。约束（7）表达了船舶i的完成时间c和停泊时间u之间的关系。约束（8）和（9）定义了决策变量u、v、m、k的可行范围。
3 基于鲁棒优化的连续泊位分配模型
3.1 鲁棒优化原理
鲁棒优化源于鲁棒控制，应用领域很广泛。它的解对于所有不确定参数的实现都具有良好性能，弥补了随机规划和灵敏度分析等方法的不足。该方法对不确定参数不进行分布假定，当它面向最坏情况时，代表一个最保守的结果。如何将其转化为多项式可解的问题是鲁棒优化的关键点。
考虑一般性线性优化问题：
max cx
s.t. Ax≤b
1≤x≤u
假设不确定数据只出现在矩阵A中，而目标函数系数c是确定的。
Soyster[8]方法保证了满足其取值范围内的任何不确定参数的实现条件，故其保护度过高，考虑其缺点，Bertsimas和Sim[9]在线性规划问题中将系数矩阵A中所有不确定参数a看作是一个取值于区间a-， a+对称的随机变量。对于每个约束，引进一个参数Γ在0，J内取值，用来灵活地调整解的保守性水平。实际上，不太可能所有的a都不确定，所以在鲁棒优化模型中，让不确定数据a中的？骔Γ」（不大于Γ的最小整数）在区间a-， a+内变化，另一个系数则在a-Γ-？骔Γ」， a+Γ-？骔Γ」内变化，并且不指定a中哪个？骔Γ」在a-， a+内变化。基于以上方法建立鲁棒对应式，可将鲁棒优化模型变成确定性优化问题。
3.2 基于鲁棒优化的连续泊位分配模型
在传统泊位分配模型的基础上，我们考虑船舶作业时间的不确定性，首先增加不确定性时间，再引入保守度的自定义参数Γ及辅助参数ω和r，则可得相应的鲁棒对应式：
u-u-p-m-1·T≥ωΓ+r （10）
ω+r≥ （11）
ω≥0 （12）
r≥0 （13）
最终得到以（1）为目标函数，（2）到（13）为约束条件的基于鲁棒优化的连续泊位分配模型。
4 数值实验
本文采用的是Lee等[7]的测试实例数据。在测试数据中，泊位长度设置为80，船长、作业时间、船舶到达时间是遵循离散均匀分布U6，50，U20，80，U0，20。以5艘船为例分析解的具体情况。表1表示船舶的相关数据信息。将上面得到的鲁棒泊位分配模型用优化软件CPLEX12.5.1进行实验，通过改变约束中的Γ值计算不同条件下模型的最优解，和传统模型的最优解进行比较。
从表1中我们可以得知5条船的船长分别为46，42，35，28，42；操作时间分别为40，52，40，60，37；到达时间分别为6，7，11，15，17；本文考虑了船舶的优先权因素，权重分配分别都为1。
由传统模型的计算结果得，最优目标值为397，即这5条船舶的总加权在港时间最短为397。此时，5条船舶的停泊时间分别为96，7，11，51，59；开始占用泊位的时间分别为0，0，42，52，0；5条船舶的离开时间分别为139，59，51，111，96。而根据k与m的求解数组可知：
（1）k=1，k=1，k=1，k=1，其余k=0，表示船1在船4下方，船2在船3、船4下方，船5在船4下方，其他两船之间都有重叠部分；
（2）m=m=m=m=m=m=1，其余m=0，表示船2在船1、船5左方，船3在船1、船4、船5左方，船5在船1左方，其余两船之间都有重叠部分。
对于鲁棒优化模型，为了获得较好的鲁棒性，可以对不确定性因素做进一步的情景分析，但情景向量的设置会导致模型的输入量大大增加，因此从实用的角度考虑，这里我们采用Soyster方法进行处理，对Γ只取整数，而不考虑取小数的情况；当然，这样处理虽然对于建模容易一些，但也增加了解的保守性。做如下测试：
（1）设定Γ=0，此时表示完全不考虑数据的不确定性，得到的结果和传统模型相同。
（2）设定Γ=1，此时模型保守性最强，解得最优值为409。
（3）考虑中间情况，随机设定部分Γ为1，部分为0，结果见表2。当Γ=0，Γ=0，Γ=1，Γ=1，Γ=1时，此时为折中的情况，最优值为403。
5 结 论
合理的泊位调度计划能够提高资源的利用率，提升顾客满意度，本论文结合国内外已有研究成果，对不确定性条件下的连续型泊位分配问题进行研究，建立了鲁棒优化的泊位分配模型，通过调节引入参数Γ的值，我们可以根据不同的保守性得到不同船舶作业时间下的鲁棒解。结果表明相对鲁棒优化解降低了约束的保守性，提高了目标函数的最优性，因此可有效地降低决策的风险，在解决实际问题的过程中更为实用。由于MIP模型的局限性，只能求解小规模的实例集，对于大规模实例求解不太理想。因此如何快速求解鲁棒优化的泊位分配模型是下一步的研究方向。
参考文献：
[1] 韩骏，孙晓娜，靳志宏. 集装箱码头泊位与岸桥协调调度优化[J]. 大连海事大学学报，2008（2）：117-121.
[2] Guan Y， Cheung R K. The berth allocation problem： models and solution methods[J]. OR Spectrum， 2004，26（1）：75-92.
[3] Kin K H， Moon K C. Berth scheduling by simulated annealing[J]. Transportation Research Part B， 2003，37（6）：541-560.
[4] Imai A， Nishimura E， Papadimitriou S. Corrigendum to “The dynamic berth allocation problem for a container port”[J]. Transportation Research Part B， 2005，39（3）：197.
[5] Cordeau J F， Laporte G， Legato P， Moccia L. Models and tabu search heuristics for the berth allocation problem[J]. Transportation Science， 2005，39（4）：526-538.
[6] Wang F， Lim A. A stochastic beam search for the berth allocation problem[J]. Decision Support Systems， 2007，42（4）：2186
-2196.
[7] Lee D H， Chen J H， Cao J X. The Continuous Berth Allocation Problem： A Greedy Randomized Adaptive Search Solution[J]. Transportation Research Part E， 2010，46（6）：1017-1029.
[8] Soyster， A. Convex programming with set-inclusive constraints and applications to inexact linear programming[J]. Operations Research， 1973，21：1154-1157.
[9] Bertsimas， A. Thiele. A robust optimization approach to inventory theory[J]. Oprations Research， 2006，54（1）：150-168.