方程是古典代数的基本内容，也是对学生进行代数思维启蒙的重要材料。本文拟从不同的视角看方程及其教学。
一、历史文化视角
法国哲学家、数学家、解析几何创始人笛卡尔认为：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，一切代数问题都可以转化为方程。于是，一切的问题均将迎刃而解。”尽管他的这个“伟大设想”并没能实现，但足以看到方程对人类思想的影响。
由于解决实际问题的需要，方程很早就产生了。约产生于公元前1650年（差不多3700年以前）的埃及赖因德纸草书中就有方程的问题，其中的第24～第29题就是现在的一元一次方程问题。第24题的意思为：一个量，加上它的■，得19，求这个量。相当于解方程x+■=19。
书中采用很有特点的试数法解决。具体方法是，设这个数为7，代入计算得7+■=8，与结果19比较，知需要再乘个■，上述算式右边才会等于19。从而正确答案应为■×7=16■。
当然，埃及人是用六十进制的方式表示数和进行计算的。
而巴比伦人早在约公元前2000年，就研究过这样的问题：如果某正方形的面积减去其边长得870，问其边长为多少？他们的解法是：取1的一半，得0.5，0.5乘0.5得0.25，把0.25加到870上，得870.25，最后结果是29.5的平方。然后把0.5加到29.5上，结果是30，即该正方形的边长。这种解法就是通过代入公式x=■+■解方程x2-px=q。并且他们懂得把一般的一元二次方程转化为这种范式来解决。
在中国，《九章算术》是古代最为著名的数学著作，也是中国古代重要的数学典籍。在西方的数学著作传入中国之前，也就是直到明末，都是中国人学习数学的首选教材。《九章算术》共九章，包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。这也是其取名“九章”的原因。第八章“方程”就是关于线性方程组的问题，今天“方程”之名即由此而来。当然，今天的方程与《九章算术》中的方程意义已经不同。在《九章算术》中，“方”就是把算题用算筹列成方阵的形式，而“程”是度量、计量、考核等意思。《九章算术》中给出了线性方程组的一般解法，在解答过程中还使用了负数。以第1题为例：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
以今天的观点来看，设上、中、下禾一秉分别得x，y，z斗，有方程组
3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26。
《九章算术》中提供的解答方法为：
方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
这即是加减消元法，用今天的话来说，方程术的前一段就是将第一个方程的x的系数3乘第二个方程，将所得第二个方程连续两次减去第一个方程，即消去x。
到了唐朝，王孝通研究过一元三次方程。宋代的秦九韶用“正负开方术”解高次方程。而在中国古代代数学臻于鼎盛的宋元时期，当时的数学家精于“天元术”，朱世杰又推广成“四元术”，这些都是高次方程或高次方程组的应用。可见，在我国，对方程的研究不仅历史悠久，而且取得了辉煌的成就。
解代数方程一直是古典代数学的主要内容。一次方程、二次方程都有一般解法，即任意一个一次方程或二次方程，都有一个程序。按照这个程序，通过有限步的运算，可以把方程的根求出来，或者叫公式解，即可以找到一个关于方程系数的式子来表示方程的根。比如一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）
的根为
x1，2■（b2-4ac≥0）。
对于三次方程、四次方程，数学家们通过艰苦的努力，在16世纪找到了类似的求根公式。这其间也充满数学家主要是两个意大利数学家塔尔塔利亚与卡当之间的恩怨情仇——前者把三次方程的解法告诉后者，后者答应保密但却在自己的著作中公布之，以至今天的三次方程求根公式还被称为卡当公式。至于一般的五次及以上的方程，为了寻求其公式解，枉费了多少数学家的许多精力，尽管不断碰壁，但没有人怀疑这种公式解的存在性。后来，由阿贝尔、伽罗华等人的开创性工作，才让我们知道五次以上代数方程均不存在一般的公式解。重温这段历史，让人不得不对阿贝尔和伽罗华这两位天才数学家的英年早逝而扼腕叹息——阿贝尔27岁时贫病交加，死于结核病，在他去世后的第三天，柏林大学聘请他当教授的聘书才寄到；而伽罗华则在不到21岁时死于一次决斗，决斗前夜，他把自己关于五次方程的研究成果写成长信，却没有出版商愿意出版他的遗作，直到14年后才由法国数学家刘维尔在自己的杂志上刊发，人们此时才意识到他工作的重要性。这两位天才数学家的工作开创了数学的新领域——群论。
二、数学学科视角
方程是含有未知数的等式。而使方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解。方程的所有解组成的集合称为方程的解集。求方程解集的过程即是解方程。同一个方程在不同的数集范围内，解集可能是不一样的。比如方程
（x+5）（2x-7）（x2-5）=0
在自然数范围内没有解，在整数范围解集为{－5}，实数范围内解集为{－5，■，■，-■}。
根据方程的解的情况，有时将方程分为条件方程、恒等方程和矛盾方程。我们研究的通常是条件方程，此时，有些未知数的值是方程的解，有些不是。而恒等方程指的是对任意使方程有意义的未知数的值，都是方程的解。比如方程■=|x|即是恒等方程，另外如a+b=b+a也可认为是恒等方程。而矛盾方程则无解。比如sinx=2。当然，方程是否为矛盾方程，同样与考虑的数集有关，比如x2+1=0在实数范围内为矛盾方程，而在复数范围内则有两个解x1=i，x2=-i。
方程问题的核心是求解。所谓求解，其实就是将方程不断变形、简化，得到一个一个的新方程，而新方程的解更易求，以至于可以直接得到解。这样，原来方程的解也就求得了。但重要的是要保证这一次次的变形、简化中，所得到的新方程的解集与原方程的解集是一样的，即所谓同解。关于方程同解，有几条基本原理：
1.同恒等变形原理。对于方程
f（x）=g（x）
两边都作恒等变形
f（x）≡f1（x），g（x）≡g1（x），
则方程
f1（x）=g1（x）
与方程
f（x）=g（x）
同解。
2.加法定理。方程
f（x）=g（x）
与方程
f（x）+h（x）=g（x）+h（x）
同解，若h（x）对于使f（x），g（x）有意义的x均有意义。
3.乘法定理。方程
f（x）=g（x）
与方程
f（x）h（x）=g（x）h（x）
同解，若h（x）对于使f（x），g（x）有意义的x均有意义，且它的值不为0。
后面两条即我们说的等式的性质。
对于一元一次方程，我们总可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项、用非零数乘（或除）方程两边（即系数化为1）而得到方程的解，而上述过程都符合方程的同解原理，因为不会产生增根，也不会失根。
对于一元二次方程，我们总可以把它化为一般形式
ax2+bx+c=0（a≠0），
并用公式
x1，2■（b2-4ac≥0）
求得方程的根。
对于分式方程，我们通常先把分式方程两边同乘各分式的最简公分母，使它变成整式方程再求解。但求得的解需要进行检验，这是因为求得的解可能使最初乘的那个最简公分母的值为0，即开始的变形不符合同解原理。
三、教育心理视角
由于首次接触未知数的概念，并且代数思维还刚启蒙，因此，在学习方程时，学生会遇到一些困难。从教育心理学的角度来看，这些困难大体是以下几个方面。
1.关于“=”的认识。
在学生接触代数问题以前，“=”一直表示一个过程，一个从左至右的运算过程。比如5+3=8，左边是5+3，表示一种运算，右边是8，表示运算的结果，中间的“=”表示一个从左至右的过程。这时，在学生心目中，等号左右两边是不对称的，是从左边得出右边，而不能相反。学生会认为5+3=8和8=5+3是完全不同的两个式子，甚至无法理解8=5+3有什么意义。用学生的话来说：“都已经知道是8了，还用等号进行计算干什么？”此时的学生，认为3x+2=5+2x的意思是计算3x+2，得到的结果是5，然后再加上2x。为此，他们认为3x+2=5意味着x=1，于是3x+2=5+2x=7。而5+2x=3x+2则表示计算5+2x，结果是3x，然后再加上2，于是他们认为x=5，从而认为5+2x=3x+2=17。此外，正因为把“=”理解为一个过程，一个运算的过程，一个求得问题的答案的过程，部分学生在解方程2x+3=9时，会这样写：
2x+3=9=2x=6=3。
而在方程的意义下，“=”表示两边相等，像天平一样，表示平衡。3x+2=5+2x表示3x+2与5+2x是一回事，而5+2x=3x+2也表示这个意思。此时的3x+2=5+2x不再是一个操作程序，而是一个整体对象，我们可以对这个整体进行操作，比如可以两边同时加或同乘一个数。
2.关于“未知数”的认识。
考利斯的研究表示，在大多数小学生或7年级学生眼里，未知数相当于一个“空盒”，在里面填上适当的数后，使等号两边相等。学生只有到了14～15岁时，才真正理解未知数的意义：它可以像其他数一样参与运算。（见鲍建生，周超著《数学学习的心理基础与过程》第321页，上海教育出版社）
郑毓信先生认为，对于字母(更为一般地说，就是符号表达式)意义的把握，可以区分出两种不同观点：其一，是指将字母看成所要求取未知量的直接取代物，此时关心的是如何通过具体的计算以求得未知量，他把这种观念称为“程序性观点”；其二，字母（符号表达式）被看成直接的对象而并非具体数量的取代物，此时关注的主要是式与式之间的相互关系，特别是，可对各种符号表达式实行一些新的运算（如果说对具体的数量实施的主要是加、减、乘、除等算术运算，那么，对符号表达式所实行的就可以说是高一级的运算，如合并同类项、因式分解等），在这样的理解下，字母（符号表达式）就成了整体性代数结构的一个组成部分，他把这种观点称为“结构性观点”。方程的教学中，要努力引导学生从程序性观点向结构性观点转变。
3.关于算术思维与代数思维。
算术思维强调程序，通过已知数量的运算求出答案，这个过程是程序性的、含情境的。以鸡兔同笼问题为例：
鸡兔同笼，共有头8只，脚26只，问兔有几只？
2×8=16……假设全是鸡，则只有16只脚。
26-16=10……事实上有26只脚，少了10只。原因是把4只脚的兔也当2只脚的鸡算了。
4-2=2……把一只兔看成鸡，就少算了2只脚。
10÷2=5……10里面有5个2，相当于把5只兔看成了鸡，即说明有5只兔。
这就是算术思维，这个过程是程序性的、含情境的。每一步运算都有道理可讲，而这种道理是与问题情境直接相关的。上述计算过程要列成一个综合算式，即是：
（26-2×8）÷（4-2）=5。
上述综合算式中的每一步运算同样是需要结合具体问题情境讲出道理的。
而若假设兔有x只，则鸡有（8-x）只，于是有
4x+2（8-x）=26。
我们来处理这个方程，并保留每一个处理过程。
4x+2×8-2×x=26，
（4-2）x+2×8=26，
（4-2）x=26-2×8，
x=（26-2×8）÷（4-2）。
容易发现，最后的结果和上面的综合算式是一样的。不同的是，得到这个算式是无须结合具体情境讲道理的。这是对方程进行形式运算的结果。这就是代数思维，代数思维看重的是关系的符号化及其运算，这个运算是结构性的、去情境的、具有一般性的、式化的特点。
四、教学实践视角
在此，我们讨论一下关于用等式性质解方程还是用四则运算各部分间关系解方程的问题。
课程改革以前，我们用四则运算各部分间的关系解方程。课改以来，课程标准要求学生理解等式性质，会用等式的性质解简单的方程。但是在教学实践中，这种解方程的方法受到很多教师质疑，至少有两个原因。
第一，这种解方程的方法书写起来冗长。
第二，像5-x=3和12÷x=4这样的方程很难处理。（尽管根据课程标准编的教材已经回避了这两类方程，但在教学实践中，学生还是难免碰到这样的方程，并且这样的方程看起来并不复杂）
也许正是这种质疑，使得课标修订稿删除了要求用等式性质解方程的要求。
但问题在于，用等式的性质解方程应该是解方程的正途。事实上，到第三学段以后，学生解方程的依据都是等式的性质而不是四则运算各部分之间的关系。为什么在第二学段解方程，依据等式的性质会出麻烦，而依据四则运算各部分之间的关系来解方程，就会非常顺利呢？笔者认为，原因在于解方程是一项程序性很强的操作，而等式性质是基本原理，操作性不强。到第三学段后，尽管学生解方程的依据仍然是等式性质，但已经不是直接利用等式性质了，而是把等式性质概括成了“去分母”、“移项”和“系数化为1”等法则，并在此基础上总结出了解一元一次方程的基本程序：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1。这样一来，解方程就变得操作性很强，并且非常简单了。因此，即使在第三学段，学生解方程的依据其实是基于等式性质的一系列操作程序，而不是直接用等式性质。可以用下图来表示：
在第二学段，由于学生没有学习有理数的四则运算，因此，无法将等式性质概括成移项法则，从而无法得到一个操作性强的程序，只能直接利用等式性质来解方程。这样自然会很麻烦。而四则运算各部分之间的关系恰好提供了一个操作性很强的程序，几乎可以取代移项法则来作为解方程的依据，并让师生普遍认同。
于是，我们可以这样认为，像解方程这样相对机械的任务，我们需要一个操作性强的程序、法则，而不能仅仅是一个基本原理。就像多位数乘法，其计算的基本原理性依据是数的组成与乘法的运算定律。比如：
123×25=（100+20+3）×（20+5）=100×20+100×
5+20×20+20×5+3×20+3×5=2000+500+400+100
+60+15=3075。
如果要求我们始终用数的组成与乘法运算律进行这样的计算，无疑是非常麻烦的。因此，我们会概括出一个竖式算法的法则来，使计算更具操作性，从而更简便。在小学，解方程的比较具操作性的法则就是四则运算各部分之间的关系。这也是这种解方程的方式能得到师生的认同的原因所在。
但如何体现等式性质在解方程问题上的价值，或者说，如何做到中小学在解方程方法上的相对一致性呢？笔者认为，既不能要求学生按等式性质这样一个原理性的、而操作性不强的原则来解方程，也不能抛开等式性质于不顾。而应该走一条折中的路。具体方法是，类似于第三学段，我们也把等式性质概括出几条法则，这几条法则就是四则运算各部分之间的关系。简单的说，就是：
此前，四则运算各部分间的关系是通过实际问题归纳所得。现在，我们把四则运算各部分关系置于等式性质之下，将其看成等式性质概括的结果。这样，一方面保证了解方程的基本原理是等式性质，另一方面，也使解方程有一个操作性强的法则可依。
（执笔：张新春（长沙市岳麓区教研室））
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