摘要： 求解微分方程时都需要求积分，求积分的方法是非常灵活的，对于不同形式的积分有不同的方法.文章给出了几种求积分的方法，有一般方法和特殊方法，方便以后求积分时应用.
关键词： 积分函数一般方法特殊方法
微积分中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分.但是如果函数未知，知道变量与函数的代数关系式，便可组成代数方程，通过求解代数方程解除未知函数.同样，如果知道自变量、未知函数及函数的微分组成的关系式，则得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数.自变量只是一个的微分方程则可称为常微分方程.常微分方程是数学分析或是基础数学的一个组成部分，在整个数学学科中占据着重要的位置.
在求解微分方程时最关键的一步是求积分，即微分方程求解出的最终形式用初等函数表示出来，但是也不勉强从其中求出解的显示表达式.因此从微分方程求解的意义上讲，最终留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题.因此如何求解函数的积分成为至关重要的步骤.
1.求解积分的一般方法
1）对于一些基本的初等函数，熟记这些函数的积分公式表，比如：三角函数、反三角函数、幂函数、对数函数、指数函数等一些基本的函数的公式，可以直接积分.
2）换元积分法，可以利用三角函数代换或者导数代换之类的.
3）分部积分法：
①具有形式?蘩x■e■dx;?蘩x■a■dx;?蘩x■sinxdx;?蘩x■cosxdx（k为正整数），甚至形如
?蘩p（x）e■dx;?蘩p（x）a■dx;?蘩p（x）sinbxdx;?蘩p（x）cosbxdx
（p（x）为多项式）这类积分，先积指数函数或者三角函数.
②具有形式
?蘩x■lnxdx;?蘩x■loga■dx;?蘩x■arcsinxdx;?蘩x■arccosxdx;?蘩x■arctanxdx;?蘩x■arccotxdx（k为正整数或0），
甚至形如
?蘩p（x）lnbxdx;?蘩p（x）loga■dx;?蘩p（x）arcsinbxdx;?蘩p（x）arccosbxdx;?蘩p（x）arctanbxdx;?蘩p（x）arccotbxdx
这类积分，先积x■或者p（x）.
4）对于形如?蘩■和?蘩■dx（a■-4b＜0）
这两种类型的积分，有：
?蘩■=ln|x-a|+C，k=1■+C，k＞1
?蘩■dx，令t=x+■进行代换即可.
5）对于形如三角函数有理式?蘩R（sinx，cosx）dx的积分，可以通过万能代换式t=tan■，转化为有理函数的不定积分.
6）对于形如?蘩R（x，■）dx（ad-bc=0）无理根式的积分，令t=■
转化为有理函数的不定积分；
形如
?蘩R（x，■）dx（a＞0，b■-4ac≠0;a＜0，b■-4ac＞0）
先将里面的一元二次方程配方，转化为形如这三种类型的方程：
?蘩R（m，■）dm;?蘩R（m，■）dm;?蘩R（m，■）dm
再利用三角代换，分别令m=ntant，m=nsect，m=nsint，将它们转化为三角有理式的不定积分.
2.求解积分的特殊方法
1）对于有些有理函数的积分，如果其分母在实数域内是个不可约多项式，则可以利用复变函数里面的留数理论讨论.先找被积函数的辅助函数，通常有■和lnz这两种类型，并求出它的支点；再避开支点作复围线，判断复围线有没有几点，然后利用柯西积分定理和留数定理讨论积分等式；最后分别讨论积分等式两边的积分即可.
2）当函数的分子、分母都含有sinx，cosx，并且次数都为一次时，可以用待定系数法求积分.
3）对于可以用分部积分法求解的不定积分?蘩g（x）h（x）dx，如果化简到后面还是比较繁琐，则此时可以运用“平行微积分法”求解.首先确定哪个微分g（x），h（x）哪一个积分；其次，比如此时设求g（x）的微分，那表示如下：
g（x）+h（x），g■（x）-h■（x），g■（x）+h■（x），…，g■（x）-h■（x），g■（x）+h■（x）
其中g■（x）是g■（x）求导数得来的，h■（x）是h■（x）求积分得来的.最后，直接可以得出结果，即
?蘩g（x）h（x）dx=g（x）h■（x）-g■（x）h■（x）+…+（-1）■g■（x）h■（x）+…+（-1）■g■（x）h■（x）+（-1）■?蘩g■（x）h■（x）dx
需要注意的是：（ⅰ）符号一直是正负号相间隔的；（ⅱ）如果?蘩g■（x）h■（x）dx是否容易求出，若可以直接求出，就不需要再继续对g■（x）求导数和h■（x）求积分.
4）如果被积函数f（x）较复杂，可以将其分解为若干个函数的线性组合，即f（x）=m■f■（x）+m■f■（x）+…+m■f■（x），m■为实数，f■（x）是较容易求出的被积函数，那此时
?蘩f（x）dx=m■?蘩f■（x）dx+m■?蘩f■（x）dx+…+m■?蘩f■（x）dx
此时原来函数的积分就转化为n个容易求积分的被积函数的线性组合了.
3.小结
求积分在数学分析里是至关重要的，同时也为专业教学提供可靠的教学工具和解决问题的手段。积分学掌握的情况不仅直接影响到该课程本身的学习，而且影响到其他相关学科，比如常微分方程，在微分方程里求积分也是很非常关键的步骤，顺利地求解函数的积分对于解决问题有很大的帮助.因此对求积分的方法研究和归纳具有很重要的意义.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系.数学分析（上册第三版）［M］.北京：高等教育出版社，1981.
［2］萧胜中.浅谈不定积分的求解方法［J］.广东民族学院学报，1998，4:92-95.
［3］王高雄，周之铭等.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，1978.
［4］李凯等.关于两类定积分的求解方法［J］.太原师范学院，2008，4（7）:46-79.
［5］赵继红.关于不定积分?蘩secxdx几种的求解方法［J］.湖南文理学院学报，2012，24（1）:5-6.