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回顾与思考(2)
教学目标 (一) 教学知识点 1． 了解点与圆， 直线与圆以及圆和圆的位置关系．
2． 了解切线的概念， 切线的性质及判定．
3． 会过圆上一点画圆的切线．
(二) 能力训练要求 1． 通过平移、 旋转等方式， 认识直线与圆、 圆与圆的位置关系， 使学生明确图形在运动变化中的特点和规律， 进一步发展学生的推理能力．
2． 通过探索弧长、 扇形的面积、 圆锥的侧面积和全面积的计算公式， 发展学生的探索能力．
3． 通过画圆的切线， 训练学生的作图能力．
4． 通过全章内容的归纳总结， 训练学生各方面的能力．
(三) 情感与价值观要求 1． 通过探索有关公式， 让学生懂得数学活动充满探索与创造， 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2． 经历观察、 猜想、 证明等数学活动过程， 发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、 清晰地阐述自己的观点．
教学重点 1． 探索并了解点与圆、 直线与圆、 圆与圆的位置关系．
2． 探索切线的性质； 能判断一条直线是否为圆的切线； 会过圆上一点画圆的切线．
教学难点：
探索各种位置关系及切线的性质．
教学过程 Ⅰ ． 回顾本章内容 [师] 上节课我们对本章的所有知识进行了回顾， 并讨论了这些知识间的关系， 绘制了本章知识结构图， 还对一部分内容进行了回顾， 本节课继续进行有关知识的巩固．
Ⅱ ． 具体内容巩固 一、 确定圆的条件
[师] 作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题， 确定了圆心和半径， 圆就随之确定． 我们在探索这一问题时， 与作直线类比， 研究了经过一个点、 两个点、 三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点． 下面请大家自己总结．
[生] 经过一个点可以作无数个圆． 因为以这个点以外的任意一点为圆心， 以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆． 由于圆心是任意的， 因此这样的圆有无数个．
经过两点也可以作无数个圆．
设这两点为 A、 B， 经过 A、 B 两点的圆， 其圆心到 A、 B 两点的距离一定相等， 所以圆心应在线段 AB 的垂直平分线上， 在 AB 的垂直平分线上任意取一点为圆心， 这一点到 A 或 B的距离为半径都可以作一个经过 A、 B 两点的圆． 因此这样的圆也有无数个．
经过在同一直线上的三点不能作圆．
经过不在同一直线上的三点只能作一个圆． 要作一个圆经过 A、 B、 C 三点， 就要确定一个点作为圆心， 使它到三点 A、 B、 C 的距离相等， 到 A、 B 两点距离相等的点在线段 AB的垂直平分线上， 到 B、 C 两点距离相等的点应在线段 B、 C 的垂直平分线上， 那么同时满足到 A、 B、 C 三点距离相等的点应既在 AB 的垂直平分线上， 又在 BC 的垂直平分线上， 既两条直线的交点， 因为交点只有一个， 即确定了圆心． 这个交点到 A 点的距离为半径， 所以这样的圆只能作出一个．
[师] 经过不在同一条直线上的四个点 A、 B、 C、 D 能确定一个圆吗？
[生] 不一定， 过不在同一条直线上的三点， 我们可以确定一个圆， 如果另外一个点到圆心的距离等于半径， 则说明四个点在同一个圆上， 如果另外一个点到圆心的距离不等于半径， 说明四个点不在同一个圆上．
例题讲解(投影片 A)
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？ 为什么？
[师] 请大家互相交流．
[生] 解：
如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O．
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴A、 B、 C、 D 四点到定点 O 的距离都等于矩形对角线的一半．
∴A、 B、 C、 D 四点在以 O 为圆心， OA 为半径的圆上．
二、 三种位置关系
[师] 我们在本章学习了三种位置关系， 即点和圆的位置关系； 直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系． 下面我们逐一来回顾．
1． 点和圆的位置关系 [生] 点和圆的位置关系有三种， 即点在圆外； 点在圆上； 点在圆内． 判断一个点是在圆的什么部位， 就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系， 如果这个距离大于半径， 说明这个点在圆外； 如果这个距离等于半径， 说明这个点在圆上； 如果这个距离小于半径， 说明这个点在圆内．
[师] 总结得不错， 下面看具体的例子．
(投影片 B)
1． ⊙O 的半径 r＝5cm， 圆心 O 到直线 l 的 距离 d＝OD＝3 m． 在直线 l 上有 P、 Q、 R三点， 且有 PD＝4cm， QD＞4cm， RD＜4cm， P、 Q、 R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的？
2． 菱形各边的中点在同一个圆上吗？
分析：
要判断某些点是否在圆上， 只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．
[生] 1． 解：
如图(1) ， 在 Rt△OPD 中，
∵OD＝3， PD＝4，
∴OP＝22234ODPD2＝5＝r．
所以点 P 在圆上．
同理可知 OR＝2ODDR2＜5， OQ＝2ODDQ2＞5．
所以点 R 在圆内， 点 Q 在圆外．
2． 如图(2) ， 菱形 ABCD 中， 对角线 AC 和 BD 相交于点 O， E、 F、 G、 H 分别是各边的中点． 因为菱形的对角线互相垂直， 所以△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA 都是直角三角形， 又由于 E、 F、 G、 H 分别是各直角三角形斜边上的中点， 所以 OE、 OF、 OG、 OH 分别是各直角三角形斜边上的中线， 因此有 OE＝12AB， OF＝12BC， OG＝12CD， OH＝12AD， 而 AB＝BC＝CD＝DA． 所以 OE＝OF＝OG＝OH． 即各中点 E、 F、 G、 H 到对角线的交点 O 的距离相等， 所以菱形各边的中点在同一个圆上．
2． 直线和圆的位置关系
[生] 直线和圆的位置关系也有三种， 即相离、 相切、 相交， 当直线和圆有两个公共点时， 此时直线与圆相交； 当直线和圆有且只有一个公共点时， 此时直线和圆相切； 当直线和圆没有公共点时， 此时直线和圆相离．
[师] 总结得不错， 判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？
[生] 有两种方法， 一种就是从公共点的个数来判断， 上面已知讨论过了， 另一种是比较圆心到直线的距离 d 与半径的大小．
当 d＜r 时， 直线和圆相交；
当 d＝r 时， 直线和圆相切；
当 d＞r 时， 直线和圆相离．
[师] 很好， 下面我们做一个练习．
(投影片 C)
如图， 点 A 的坐标是(－4， 3) ， 以点 A 为圆心， 4 为半径作圆， 则⊙A 与 x 轴、 y 轴、 原点有怎样的位置关系？
分析：
因为 x 轴、 y 轴是直线， 所以要判断⊙A 与 x 轴、y 轴的位置关系， 即是判断直线与圆的位置关系， 根据条件需用圆心 A 到直线的距离 d 与半径 r 较． O 是点， ⊙A 与原点即是求点和圆的位置关系， 通过求 OA 与 r 作比较即可．
[生] 解：
∵A 点的坐标是(－4， 3) ，
∴A 点到 x 轴、 y 轴的距离分别是 3 和 4．
又因为⊙A 的半径为 4，
∴A 点到 x 轴的距离小于半径， 到 y 轴的距离等于半径．
∴⊙A 与 x 轴、 y 轴的位置关系分别为相交、 相切．
由勾股定理可求出 OA 的距离等于 5， 因为 OA＞4， 所以点 O 在圆外．
[师] 上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系， 下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究， 即切线的性质和判定．
[生] 切线的性质是：
圆的切线垂直于过切点的直径．
切线的判定是：
经过直径的一端， 并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
[师] 下面我们看它们的应用．
(投影片 D)
1． 如图(1) ， 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， AC＝12， BC＝9， D 是 AB 上一点， 以 BD 为直径的⊙O 切 AC 于点 E， 求 AD 的长．
2． 如图(2) ， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上的一点， ∠CAE＝∠B， 你认为 AE 与⊙O 相切吗？ 为什么？
分析：
1． 由⊙O 与 AC 相切可知 OE⊥AC， 又∠C＝90° ， 所以△AOE∽△ABC， 则对应边成比例，OAOEBABC． 求出半径和 OA 后， 由 OA－OD＝AD， 就求出了 AD．
2． 根据切线的判定， 要求 AE 与⊙O 相切， 需求∠BAE＝90° ， 由 AB 为⊙O 的直径得∠ACB＝90° ， 则∠BAC＋∠B＝90° ， 所以∠CAE＋∠BAC＝90° ， 即∠BAE＝90° ．
[师] 请大家按照我们刚才的分析写出步骤．
[生] 1． 解：
∵∠C＝90° ， AC＝12， BC＝9， ∴由勾股定理得 AB＝15．
∵⊙O 切 AC 于点 E， 连接 OE， ∴OE⊥AC． ∴OE∥BC． ∴△OAE∽△BAC．
∴OAOEABBC， 即ABOEOEABBC． ∴15159OEOE． ∴OE＝458 ∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－458×2＝154．
2． 解：
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° ． ∴∠CAB＋∠B＝90° ． ∴∠CAE＝∠B，
∴∠CAB＋∠CAE＝90° ， 即 BA⊥AE． ∵BA 为⊙O 的直径，
∴AE 与⊙O 相切．
3． 圆和圆的位置关系 [师] 还是请大家先总结内容， 再进行练习．
[生] 圆和圆的位置关系有三大类， 即相离、 相切、 相交， 其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切， 因此也可以说圆和圆的位置关系有五种， 即外离、 外切、 相交、 内切、内含．
[师] 那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？
[生] 判断圆和圆的位置关系； 是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．
当两个圆没有公共点时有两种情况， 即外离和内含两种位置关系． 当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离； 当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．
当两个圆有唯一公共点时， 有外切和内切两种位置关系， 当除公共点外， 每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切； 当除公共点外， 其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．
两个圆有两个公共点时， 一个圆上的点有的在另一个圆的内部， 有的在另一个圆的外部时是相交． 两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．
[师] 只有这一种判定方法吗？
[生] 还有用圆心距 d 和两圆的半径 R、 r 之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当 d＝R＋r 时是外切， 当 d＝R－r(R＞r) 时是内切．
[师] 下面我们还可以用 d 与 R， r 的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系， 大家分别画出外离、 内含和相交这三种位置关系． 探索它们之间的关系， 它们的关系可能是存在相等关系， 也有可能是存在不等关系． (让学生探索) 大家得出结论了吗？ 是不是这样的．
当 d＞R＋r 时， 两圆外离；
当 R－r＜d＜R＋r 时， 两圆相交；
当 d＜R－r(R＞r) 时， 两圆内含．
(投影片 E)
设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、 r， 圆心距为 ， 在下列情况下， ⊙Od1和⊙O2的位置关系怎样？
①R＝6cm， r＝3cm， d＝4cm；
②R＝6cm， r＝3cm， d＝0；
③R＝3cm， r＝7cm， d＝4cm；
④R＝1cm， r＝6cm， d＝7cm；
⑤R＝6cm， r＝3cm， d＝10cm；
⑥R＝5cm， r＝3cm， d＝3cm；
⑦R＝3cm， r＝5cm， d＝1cm．
[生] (1) ∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；
(2) ∵d＜R－r， ∴两圆的位置关系是内含；
(3) ∵d＝r－R， ∴两圆的位置关系是内切；
(4) ∵d＝R＋r， ∴两圆的位置关系是外切；
(5) ∵d＞R＋r， ∴两圆的位置关系是外离；
(6) ∵R－r＜d＜R＋r， ∴两圆的位置关系是相交；
(7) ∵d＜r－R， ∴两圆的位置关系是内含．
三、 有关外接圆和内切圆的定义及画法 [生] 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫三角形的外心， 它是三角形三边垂直平分线的交点．
因为画圆的关键是确定圆心和半径， 所以作三角形的外接圆时， 只要找三边垂直平分线的交点， 这就是圆心， 以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．
和三角形三边都相切的圆； 叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫三角形的内心． 因此， 作三角形的内切圆时， 只要作两条角平分线就找到了圆心， 以这点与任一边之间的距离为半径， 就可作出三角形的内切圆．
Ⅲ． 课堂练习 1． 画三个半径分别为 2cm、 2. 5cm、 4cm 的圆， 使它他们两两外切．
2． 两个同心圆中， 大圆的弦 AB 和 AC 分别和小圆相切于点 D 和 E， 则 DE 与 BC 的位置关系怎样？ DE 与 BC 之间有怎样的数量关系？ (DE12BC)
Ⅳ． 课时小结：
本节课巩固了如何确定圆； 点和圆、 直线和圆、 圆和圆之间的位置关系； 如何作三角形的外接圆和内切圆．
Ⅴ． 课后作业：
复习题
B 组 Ⅵ． 活动与探究 如图， ⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆， ∠ACB＝90° ， AB＝13， AC＝12，求图中阴影部分的面积．
分析：
根据图形， 阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差， 由勾股定理可求出直角边BC的长度， 则能求出S△ABC，OF、要求圆的面积， 则需求⊙O的半径OD或 E、 O ． 连接OA、 OBOC， 则把△ABC分成三个三角形， 即△OAB， △OBC、 △OCA， 则有S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA， 从中可求出半径．
解：
如图连接 OA、 OB、 OC， 则△ABC 分成三个三角形， △OAB、 △OBC、 △OCA， OE、 OF、OD 分别是三角形各边上过切点的半径．
∴S△OAB＝12AB· OF， S△OBC＝12BC· OD， S△OCA＝12CA· OE．
∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA， ∴12AC· BC＝12AB· OF＋12BC· OD＋12CA· OE．
∵OD＝OE＝OF， ∴AC· BC＝(AB＋BC＋CA) · OD．
在 Rt△ABC 中， AB＝13， AC＝12， 由勾股定理得 BC＝5．
∴12×5＝(12＋13＋5) · OD． ∴OD＝2．
∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝12×12×5－π · 22＝30－4π ．
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