摘 要：通过对组合数学中的基本原理（加法原理、乘法原理）与微分学中的求导链式法则进行分析，得出二者的共同特性.可以得出：不同数学分支的不同原理具有相同的特性。
关键词：加法原理；乘法原理；链式法则
中图分类号：TP309-4；G642.4
加法原理和乘法原理是组合数学中的基本原理（以下简称组合学基本原理），而链式法则在微分学中一元复合函数求导与多元复合函数求偏导所依据的基本原理（以下简称求导基本原理）。组合数学基本原理与求导基本原理是数学两个不同分支最基本又最重要的原理，初步看来似乎毫不相关，仔细分析，不难发现，二者具有相同的特性。下面就这一点做一分析和探究。
1 组合学基本原理
1.1 加法原理
加法原理：记所要实现的“目标”为A，实现“目标”A需要经过m个途径，第1个途径有n1种方法，第2个途径有n2种方法，…，第m个途径有nm种方法，则实现“目标”A共需要的方法总数N为
（1）
例1 从B地到达A地，有三种交通工具，第一种途径是乘汽车到A地，共有5个车次；第二途径是乘火车到A地，共有6次列车；第三途径是乘轮船到A地，共有4趟轮船，问从B到达A地共有多少种走法？
这一问题可用图1形象地表达。显然，n1=5，n2=6，n3=4，N=n1+n2+n3=15，即从B地到达A地共有15种走法。
图1
1.2 乘法原理
乘法原理：记所要实现的“目标”为A，实现“目标”A需要经过m个步骤，第1步有n1种方法，第2个步n2种方法，…，第m步有nm种方法，则实现“目标”A共需要的方法总数N为：
（2）
例2 从B地到达A地，需要三步实现，第一步是先乘汽车从B地到达C地，共有5个车次；第二步转乘火车从C地到达D地，共有6次列车；第三步转乘轮船从D地到A地，共有4趟轮船。问从B到达A地共有多少种走法。
B→C→D→A，显然，n1=5，n2=6，n3=4，N=n1+n2+n3=120，即从B到达A地共有120种走法。
综上所述，不难看出，欲实现“目标”A，若分不同途径实现，则采用加法原理；若分步骤实现，则使用乘法原理。
2 求导基本原理
2.1 一元复合函数求导数链式法则
一元复合函数求导数链式法则：假设u=f1（v1）在v1点可导，v1=f2（v2）在v2点可导，…，vm-1=fm-1（x）在x点可导。因变量u与中间变量v1，v2，…，vm-1及自变量x的关系可用u→v1→v2→…→vm-1→x表示。则u对x的导数为：
（3）
如果将自变量x看做“目标”，则要实现因变量u对“目标”求导，u到x经过m个步骤，比较（2）式和（3）式，不难发现，一元复合函数求导链式法则与加法原理有共同之处：欲实现“目标”，若分步骤进行，应采用乘法。
例3 设，求。
记u=arctanv1，v1=ev2，v2=3x2，显然，要实现“目标”。需要三步，即u→v1→v2→x。由于，，，由（3）式有
2.2 多元复合函数求偏导数链式法则
多元复合函数求偏导数链式法则：设n元函数y=f1（u1，u2，…，un）对于变量u1，u2，…，un的偏导存在，u1=f11（u11，u12，…，u1n1），u2=f21（u21，u22，…，u2n2），…，un=fn1（un1，un2，…，unnm）对各自的变量偏导均存在，u11，u12，…，u1n1；u21，u22，…，u2n2）；…，un1，un2，…，unnm均为x1，x2，…，xk的函数，且各偏导存在。
例4 设z=uv，u=excosy，v=3x+siny，求。
各变量关系如图2所示：
图2
显然，要实现“目标”，从z到x需要2个途径，每个途径分别有2个步骤，所以有：
3 结论
通过上面的分析和讨论，本文得出这样的结论，无论是组合数学中的组合学基本原理，还是微分学中的求导基本原理，均具有如下共同特性：为实现“目标”，若需要若干个途径时，采用加法准则；若需要若干个步骤时，采用乘法准则；若既有分途径，又有分步骤时，将加法准则与乘法准则结合起来。
参考文献：
[1]高祖新.医药数理统计方法[M].北京：人民卫生出版社（第四版），2011.
[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社（第六版），2012.
[3]林士美.应用数理统计[M].北京：中国医药科技出版社，2009.
作者简介：李宗学（1963.01-），男，内蒙古自治区赤峰市人，副教授，研究方向：数理统计，应用数学。