三要素

下面是小编为大家整理的三要素,供大家参考。

　 求函数值域的一些类题型和求法 一、 函数值域基本知识 1． 定义：

　在函数( )f xy中， 与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值， 函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

　2． 确定函数的值域的原则 ①当函数( )f xy用表格给出时， 函数的值域是指表格中实数 y 的集合；

　②当函数( )f xy用图象给出时， 函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合；

　③当函数( )f xy用解析式给出时， 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

　④当函数( )f xy由实际问题给出时， 函数的值域由问题的实际意义确定。

　二、 常见函数的值域， 这是求其他复杂函数值域的基础。

　函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

　一般地， 常见函数的值域：

　1.一次函数 0ykx b k的值域为 R. 2.二次函数20yaxbxc a， 当0a 时的值域为24,4ac ba， 当0a 时的值域为24,4acba.，

　3.反比例函数 0kykx的值域为 0yR y. 三、 求解函数值域的 6 种题型 题型一：

　一次函数 0yaxb a的值域（最值）

　1、 一次函数： 0yaxb a

　 当其定义域为 R ， 其值域为 R ；

　2、 一次函数 0yaxb a在区间,m n 上的最值， 只需分别求出 f m f n ， 并比较它们的大小,即可。

　若区间的形式为,n或,m  等时， 需结合函数图像来确定函数的值域。

　题型二：

　二次函数) 0()(2acbxaxxf的值域（最值）

　 1、 二次函数) 0()(2acbxaxxf，

　 当其 定义域为 R 时， 其值域为224

　 044

　 04acbyaaacbyaa 2、 二次函数) 0()(2acbxaxxf在区间,m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2bxa 与区间,m n 的位置关系 （1）

　若,2bbm na,则当0a 时，()2bfa是函数的最小值， 最大值为( ), ( )f mf n 中较大者； 当0a 时，()2fa是函数的最大值， 最大值为( ), ( )f mf n 中较小者。

　（2）

　若,2bm na,只需比较 ( ), ( )f mf n 的大小即可决定函数的最大（小）

　值。

　特别提醒：

　①若给定区间不是闭区间， 则可能得不到最大（小）

　值；

　②若给定的区间形式是 ,  ,,,,,,abab等时， 要结合图像来确函数的值域；

　③当顶点横坐标是字母时， 则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

　例 1：

　已知 22fxx的定义域为3,  ， 则  f x 的定义域为

　,1

　。

　例 2：

　已知 211f xx ， 且3,4x ， 则  f x 的值域为

　)17, 1 [

　。

　题型三：

　一次分式函数的值域

　 1、 反比例函数) 0( kxky的定义域为 0x x ， 值域为 0y y  2、 形如：cxdyaxb的值域：

　（1）

　若定义域为bxR xa 时， 其值域为cyR ya （2）

　若,xm n时， 我们把原函数变形为dbyxayc， 然后利用,xm n（即 x 的有界性）

　， 便可求出函数的值域。

　例 3：

　(1)当3, 1x  时， 函数1231xyx的值域

　] 2, 4[ 。

　 题型四：

　二次分式函数22dxexcyaxbxc的值域

　 一般情况下， 都可以用判别式法求其值域。

　但要注意以下三个问题：

　①检验二次项系数为零时， 方程是否有解， 若无解或是函数无意义， 都应从值域中去掉该值； ②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在； ③分子、 分母必须是既约分式。

　例 4：2221xxyx；

　 }231|{yyy且 例 5：432xxy；

　3 3,4 4 例 6：

　求函数21

　 1,21xyxxx  的值域 解：

　由原函数变形、 整理可得：22110yxyxy 

　求原函数在区间1,  上的值域， 即求使上述方程在1,  有实数解时系数 y 的取值范围 当0y 时， 解得：11,x    

　 也就是说，0y 是原函数值域中的一个值 …① 当0y 时， 上述方程要在区间1,  上有解，

　即要满足  10f 或y21210y

　解得：108y

　……② 综合①②得：

　原函数的值域为：10,8 题型五：

　形如 yax b cxd的值域

　这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题， 然后求其值域。

　例 7：

　求函数xxy142在8,1x 时的值域

　4,4 题型六：

　分段函数的值域：

　 一般分别求出每一分段上函数的值域， 然后将各个分段上的值域进行合并即可。

　如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出， 从图像上便可很容易地得到函数的值域。

　例 8：

　21xxy

　3,

　例 9：

　241yxx 

　 ,5 四、 函数值域求解的几种求法 （1）

　直接法（俗名分析观察法）：

　有的函数结构并不复杂， 可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

　即从自变量 x的范围出发， 推出( )f xy的取值范围。

　或由函数的定义域结合图象， 或直观观察， 准确判断函数值域

　 的方法。

　注意此法关键是定义域。

　例 1：

　已知函数112 xy， 2 , 1 , 0 , 1x， 求函数的值域。

　 1,0,3 例 2：

　求函数1yx 的值域。

　 [1,)

　（2）

　配方法：

　二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解， 但在转化的过程中要注意等价性， 特别是不能改变定义域。对于形如20yaxbxc a或   20F xa f xbf xc a类的函数的值域问题， 均可使用配方法。

　例 1． 求函数322xxy的值域。

　分析与解答：

　因为0322xx， 即13x，4) 1(2xy， 于是：

　44) 1(02x，20 y。

　（3）

　反函数法（逆求或反求法）：

　利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系， 通过求反函数的定义域， 得到原函数的值域。

　即通过反解， 用 y 来表示 x ， 再由 x 的取值范围， 通过解不等式， 得出 y 的取值范围 。

　对于形 如) 0( abaxdcxy的值域， 用函数和它的反函数定义域和值域关系， 通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

　例 1：

　求函数2211xyx的值域。

　解：

　由函数的解析式可以知道， 函数的定义域为 R ， 对函数进行变形可得 2(1)(1)yxy ，

　 ∵1y  ， ∴211yxy （ xR，1y  ），

　∴110yy， ∴ 11y  ，

　 ∴函数2211xyx的值域为{ | 11}yy  （4）

　分离常数法：

　分子、 分母是一次函数得有理函数， 可用分离常数法， 此类问题一般也可以利用反函数法。

　小结：

　已知分式函数) 0( cdcxbaxy， 如果在其自然定义域 （代数式自身对变量的要求）内， 值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）， 采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。

　例 1：

　求函数125xyx的值域。

　 解：

　∵127272(25)1122152525xxyxxx ，

　 ∵72025x， ∴12y  ，

　∴函数25xyx的值域为1{ |y y  }2。

　（5）

　换元法（代数/三角）：

　对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数， 可以考虑运用代数或三角代换， 将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数， 从而求得原函数的值域。

　当根式里是一次式时， 用代数换元； 当根式里是二次式时， 用三角换元。

　对形如 f x1y的函数， 令  f xt ； 形如( , , ,d a b c d,0)yaxbcxac 均为常数的函数， 令 cxdt . 例 1：

　求函数212yxx的值域。

　解：

　令12tx（0t ）， 则212tx，

　∴2212541()yttt      ∵当12t ， 即38x 时，max54y， 无最小值。

　∴函数212yxx的值域为54(, ]。

　（6）

　判别式法：

　把函数转化成关于 x 的二次方程( , )F x y 0； 通过方程有实数根， 判别式0 ， 从而求得原函数的值域。

　对形如21112222a xb xcya xb xc（1a 、2a 不同时为零）

　的函数的值域， 通常转化成关于 x 的二次方程， 由于方程有实根， 即讨论。

　0从而求得 y 的范围， 即值域。

　值得注意的是， 要对方程的二次项系数进行注意：

　主要适用于定义在 R 上的分式函数， 但定义在某区间上时， 则需要另行讨论。

　例 1：

　求函数2231xxyxx  的值域。

　解：

　由2231xxyxx  变形得2(1)(1)30yxyxy ，

　当1y  时， 此方程无解；

　当1y  时， ∵ xR， ∴，2(1)4(1)(3)0yyy 

　 解得1131y， 又1y  ， ∴1131y ∴函数2231xxyxx  的值域为113{ |1y}y （7）

　函数单调性法：

　确定函数在定义域（或某个定义域的子集）

　上的单调性， 求出函数的值域。

　例如，bf xaxabx 0,0.当利用不等式法等号不能成立时， 可考虑利用函数的单调性解题。

　例 1：

　求函数12yxx的值域。

　解：

　∵当 x增大时， 12x随 x的增大而减少，12x随 x的增大而增大，

　∴函数12yxx在定义域12(, ]上是增函数。

　 ∴11112222y  ，

　∴函数12yxx的值域为12(, ]。

　例 2． 求函数xxy1在区间, 0x上的值域。

　分析与解答：

　任取, 0,21xx， 且21xx ， 则   x212121211xxxxxxfxf，

　因为210xx ， 所以：0, 02121xxxx，

　当211xx 时，0121xx， 则   x21fxf；

　当1021xx时，0121xx， 则   x21fxf； 而当1x时，2miny 于是：

　函数xxy1在区间, 0x上的值域为), 2 [  。

　步骤:构造相关函数， 利用函数的单调性求值域。

　（8）

　基本不等式法 利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值， 解析式是积时要求和为定值。

　利用基本不等式2abab ， 用此法求函数值域时， 要注意条件“一正， 二定， 三相等”.如利用2abab 求某些函数值域（或最值）

　时应满足三个条件①0,0ab;②abab或为定值； ③取等号成立的条件ab.三个条件缺一不可。

　例 1 求函数12xxy的值域.

　 解: 2111x12xxxy, 当且仅当0x时"" 成立. 故函数的值域为), 2 [ y.

　例 2：

　求函数的值域：2211221xxyxx  .

　解：212211211121212212121xxxxyxxxxxx 

　11,022xx 12121212221212xxxx 当且仅当121212xx时， 即122x时等号成立，

　122y， 所以元函数的值域为12,2. （9）

　数型结合法：

　如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离， 直线的斜率、 截距等）

　或当一个函数的图象易于作出时， 可借助几何图形的直观性来求函数的值域， 如由1221yyxx可联想到两点11,x y与22,x y连线的斜率或距离。

　例 1：

　求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。

　解法 1：

　将函数化为分段函数形式：x) 2( 3) 2( 121) 1( 12xxxxy， 画出它的图象， 由图象可知， 函数的值域是{y|y3}。

　解法 2（几何法或图象法）：

　∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1， 2 的距离之和， ∴易见 y 的最小值是 3， ∴函数的值域是[3， +]。

　如图 O12-1x O12-1x O12-1x 五、 与函数值域有关的综合题 例 1、 求函数1122xxy 的值域 解法一：

　（逆求法）110112yyyx

　 11 原函数的值域为 2-13xOy

　 解法二：

　（复合函数法）

　设tx12 ， 则 ) 1(211212ttxy  1 , 1112201原函数值域为ytt 解法三：

　（判别式法）

　原函数可化为

　010) 1(2yxxy 1）

　1y时 不成立 2）

　1y时，110) 1)(1( 400yyy

　 11y 综合 1）、 2）

　值域} 11|{yy 小结：

　总之， 在具体求某个函数的值域时， 首先要仔细、 认真观察其题型特征， 然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法， 函数单调性法和基本不等式法， 然后才考虑用其他各种特殊方法。

　2,x∈［1,+∞) ， (1)当 a=2(2)若对任意 x∈［1,+∞) ,f(x)>0 恒成立， 试求实数 a 的取值范围

　 例 2 已知函数 f(x)=xaxx 21时， 求函数 f(x)的最小值

　 解 (1)

　当 a=21时， f(x)=x+x21+2 [来源:学科网]∵f(x)在区间［1， +∞) 上为增函数，

　∴f(x)在区间［1， +∞) 上的最小值为 f(1)=27

　 (2)解法一

　在区间［1， +∞) 上， f(x)=xaxx22 >0 恒成立 x2+2x+a>0 恒成立

　 设 y=x2+2x+a,x∈［1,+∞)[来源:学科网 ZXXK]∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1 递增，[来源:学,科,网] ∴当 x=1 时， ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时， 函数 f(x)>0 恒成立，

　故 a>－3

　 a+2,x∈［1,+∞)

　 当 a≥0 时， 函数 f(x)的值恒为正；

　解法二

　f(x)=x+x当 a<0 时， 函数f(x)递增， 故当 x=1 时， f(x)min=3+a, 当且仅当 f(x)min=3+a>0 时， 函数 f(x)>0 恒成立， 故 a>－3

　[来源:Z#xx#k.Com]

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