下面是小编为大家整理的第二十四章圆知识梳理（全文）,供大家参考。
第二十四章：
圆
一、 圆的形成（让学生先用圆规画圆， 体会圆的形成过程。）
圆是圆规画出来的， 先将圆规的一只脚固定在一点， 这点称为圆心， 它确定了圆的位置；再使圆规的另一只脚和圆心保持一段固定的距离， 这段距离称为圆的半径， 它确定了圆的大小； 然后将这只脚绕圆心旋转一周， 它所形成的轨迹就是圆。
由此可见， 圆是一个旋转图形，是线段绕其中一个端点旋转一周， 另一个端点所形成的轨迹。
圆是到定点（圆心）
距离等于定长（半径）
的点的集合， 是一个封闭凸图形。（注：
凸图形定义：
一个图形是凸图形， 如果任取图形内部的两点， 他们的连线都在图形内部。）
二、 几个概念（通过图形帮助学生理解、 记忆相关概念。）
弦：
圆上任意两点连成的线段； 通过圆心的弦是直径， 是圆中最长的弦， 也是圆的对称轴。
弧：
圆上任意两点之间的部分； 以 A、 B 为端点的弧记作AB
圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧， 每一条弧都叫做半圆。
（半圆是弧， 不包括直径的部分， 因此求半圆的周长时不要画蛇添足。）
在同圆或等圆中， 弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。
弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。（ 优弧通常用三个字母表示， 如ABC 。）
等圆：
能完全重合的两个圆是等圆。
等圆即全等的圆， 与圆的位置无关， 只与圆的大小有关。
因此， 半径相同的两个圆是等圆。
等弧：
能完全重合的两条弧是等弧。
三、 垂径定理（先让学生作图， 看到直观的结论， 从情感上先接受这个定理， 再让他从理智上认可， 学会定理的证明。）
圆是轴对称图形， 每一条直径都是它的对称轴。
（可以剪出一个圆纸片让学生将其对折观察是否完全重合）
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。
定理证明：
平分弦利用全等三角形证明； 平分弧可用以后的圆周角定理来证明。
另外， 也可以直接用圆的对称性解释垂径定理。
垂径定理推论：
平分弦（非直径）
的直径垂直于弦， 并平分弦所对的两段弧。
首先解释为什么这条弦不能是直径？ （因为任意一条直径都平分直径这条弦）
再通过全等三角形及垂径定理的结论证明这个推论。
典型例题：
已知弓形高和弦长求半径。（见任教课本求拱桥半径问题）
解题关键：
画出看不见的圆心， 设半径长为 R， 由垂径定理及勾股定理列方程解之即可。
补充说明：
垂径定理提供了圆问题中常作的辅助线之一， 过圆心作垂直于弦的半径。
这样可以构建直角三角形， 利用勾股定理求半径、 弦长、 弦心距和弓形高。
四、 弧、 弦与圆心角的性质
圆心角：
顶点在圆心的角 圆周角：
顶点在圆上， 角两边与圆相交的角 定理：
在同圆或等圆中， 两个圆心角、 两条弧（同优或同劣）、 两条弦中有一组量对应相等，它们所对应的其余各组量也相等。
（此定理可以使用一个圆形纸片和一个由此圆形纸片剪出的扇形纸片直观地表达出来。将扇形的顶点和圆心重合， 用黑笔描出扇形弧两端点的连线， 让扇形纸片绕圆心旋转一周。
如此，该定理便可以直观地理解了。
至于定理的证明， 可以用旋转图形的性质来解释， 旋转前后的图形全等。）
五、 圆周角的性质 圆周角：
顶点在圆上， 角两边与圆相交的角 圆周角定理：
在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对圆心角的一半。（可先让学生自 己画图， 用量角器测量同弧所对的不同圆周角和圆心角的度数， 让他们通过观察、 测量、 计算归纳猜想出这个定理的内容， 然后再进行证明。
仍然是让学生在情感和理智上同时认可这个定理， 这样才有助于记忆。）
定理证明：
根据圆心和圆周角的位置关系分为三种情况， 即圆心在角的一边上； 圆心在角的内部； 圆心在角的外部。
分别证明。
证明应由简单到复杂， 由特殊到一般。
三种情况图形如下，
1BACBOC∠=∠。
证明（闫珅讲课内容）
略。
均需证明2 圆周角定理推论：
半圆或直径所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径。
（这里同样可以让学生自己画图猜出推论的内容， 然后试用定理自己证明。）
这条推论可用于证明直角三角形斜边中线等于斜边一半这条定理。
试证明之， 并证明它的逆命题（如果三角形某边的中线等于这条边的一半， 那么这条边所对的角是直角）
也成立。（此逆命题可用三点共圆来证明， 以后将说明这一点。）
圆周角定理及其推论提供了圆问题中常作的辅助线之二：
将一般的圆周角转化为角一边经过圆心的圆周角。
例如在证明正弦定理(王宁讲课内容)和弦切角定理（闫珅讲课内容）
时都用到了这样的辅助线。
圆内接四边形：
四个顶点都在同一个圆上的四边形是圆内接四边形， 这个圆称为这个四边形的外接圆。由圆周角定理立即推出圆内接四边形的一个重要性质：
对角互补 （外角＝内对角）。
（这里还是让学生先画图测量， 再进行证明。）
值得注意的是， 圆内接四边形的对角是同一条弦所对的两个圆周角， 因此得到结论：
同圆或等圆中， 同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。
也就是说， 弧、 圆周角和圆心角存在一一对应关系， 而弦与它们都是一对二的关系。
注：
圆内接四边形对角互补的逆命题也成立， 试证明。（反证法）
六、 点和圆的位置关系
设C 半径为 r， 点 P 和圆心的距离是 d。
PdrPdrPdr⇔>⇔=⇔<点在外点在上点在内 点和圆的位置关系是显然的， d 与 r 的关系只是用来判断点和圆的位置关系的一个标准， 是一个说明作用。
但是由于等价性， 我们不妨以此作为点和圆的位置关系的定义。
三点共圆问题：
平面上三个点只有两种关系， 共线或共圆， 且两种关系不可能同时发生。
如果三个点共圆， 我们首先要确定它的圆心， 并保证圆心到这三个点的距离相等。
于是我们想到了中垂线的性质：
中垂线上的点到线段两端点距离相等。
同时它的逆定理也成立：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的中垂线上。
故圆心一定在这三个点所构成三条线段的垂直平分线上， 也即这三条中垂线的交点。（这里需要证明三条中垂线为何交于一点。）
显然， 共线的三个点不会共圆， 因为找不到满足条件的圆心。
由三点共圆问题， 我们可以得出结论：
任意三角形均有外接圆， 我们称其圆心为三角形的外心， 是三角形三边中垂线的交点。
这里还需要引入反证法， 即先假设命题不成立， 由此经过推理得出与已知条件矛盾的结论， 由此矛盾判定所做的假设不正确， 从而得到原命题成立。
三角形外心分布特点：
七、 直线和圆的位置关系
设O 半径为 r， 直线 l和圆心的距离是 d。
drdrdr⇔⇔<⇔⇔=⇔⇔>直线与圆相交直线和圆有两个交点直线与圆相切直线和圆有一个交点直线与圆相离直线和圆不存在交点 直线和圆的位置关系也是直观的， 可以直接通过直线和圆的交点个数判定， 由于它们是等价关系， 故不妨把直线和圆的位置关系用直线和圆的交点个数来定义。
而圆心到直线的距离和圆半径的大小关系是我们判定直线和圆的位置关系的重要标准， 因为它可以量化比较。此外， 如果直线 l和圆相切， 我们称 l为圆的切线， l和圆的交点称为切点； 如果直线 l和圆相交， 我们称 l 为圆的割线。（切是“擦边儿” 的临界状态， 割是将图形分开的结果， 如此锐角三角形的外心在三角形的内部，
直角三角形的外心在斜边中点上，
钝角三角形的外心在三角形的外部．
请证明第二个结论。
切线和割线就可以形象地理解了 。）
切线判定定理：
经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
定理证明：
反证法。
回归定义：
切线与圆只有一个交点。
如果这条直线不是切线， 那它一定和圆还有一个交点。
于是， 半径相等与直角三角形中斜边大于直角边的事实矛盾。
（此定理只需要学生理解， 证明只是帮助他们在理智上认可这个定理， 不需要掌握。）
切线判定定理应用例题：
如下图， AB 是⊙O 的直径， ∠ABT＝45° ， AT＝AB．
求证：
AT 是⊙O 的切线．
解题关键：
分别证明直线过半径外端； 垂直于半径。
严格按 照定义证明， 让学生熟悉证明题的格式。
切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
定理证明：
反证法。
回归定义：
切线和圆只有一个交点。
如果切线不垂直于过切点的半径， 则可过圆心作切线的垂线， 得到垂足 D。
由于切线和圆只有一个交点， 故 D 一定在圆外。
于是 OD>半径与直角三角形直角边小于斜边的事实矛盾。
（此定理只需要学生理解， 证明只是帮助他们在理智上认可这个定理， 不需要掌握。）
切线长定理：
经圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长。
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 且该点和圆心之间的连线平分两条切线所形成的夹角。（特别提醒：
切线长是线段， 可测量长度， 切线是直线， 不可测量长度。）
定理证明：
利用切线性质和全等三角形证明即可。
（可以剪出右边的图形， 让学生将其沿 OP 对折， 即可猜出定理的内容。）
例题：
如图 ，
△ABC 的内 切圆⊙ O 与 BC、 CA、 AB 分别相切于点 D、 E、 F， 且AB=9cm,BC=14cm， CA=13cm， 求 AF、 BD、 CE 的长。
解题关键：
设任意一段切线长为 x， 利用切线长之和＝边长 这一条件用 x 表示其他的切线长， 列方程即可。
有关切线的一系列定理提供了圆问题中常作的辅助线之三：
有切线必连过切点的半经， 由此可构造出直角三角形。
证切线必连过交点的半经， 再证明直线垂直于此半经。
弦切角定理：
顶点在圆上， 一边和圆相交， 另一边和圆相切的角称为弦切角。
弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角， 即（注意：
右图中有四个弦切角）
定理证明：
利用圆问题中常作的辅助线之二：
将一般的圆周角转化为角一边 DPBDCP∠= ∠。
经过圆心的圆周角。
再利用同角的余角相等证明。
三角形的内切圆：
问题的来源：
如何在三角形中截得一个最大的圆？
我们学过， 三角形的三条角平分线交于一点， 且该点到三边的距离相等。
如下图所示，分别作∠A、 ∠C 的平分线 l1、 l2， 设它们相交于一点 O， 则有点 O 到三角形三边的距离都相等。
以 O 为圆心， 点 O 到 AC 的距离 OD 为半径作圆， 就可以得到一个标准的最大圆。
这个圆与三角形各边都相切， 叫做该三角形的内切圆， 其圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做该三角形的内心。
由上图， 我们得到了三角形面积的另一个计算公式：12SCr=其中 C 是 ABC周长，r 是 ABC 内切圆半经。
证明略。
由以上的定理及证明过程中可以发现， 圆中提供了 诸多等长线段、 等角的条件， 为三角形全等证明提供了 基础。
圆幂定理：
（可让学生先画图再测量， 猜出这个结论。）
圆幂定理是相交弦定理、 切割线定理及它们推论的统称。
我们先介绍相交弦定理和切割线定理及其推论， 再来介绍圆幂定理。
定理 图形 已知 结论 证法 相 交弦 定理
⊙O 中， AB、 CD为弦， 交于点 P。
PA· PB＝PC· PD 连结 AC、 BD， 证：△APC∽△DPB 切 割线 定理
⊙O 中，PT 切⊙O于点 T， 割线 PB交⊙O 于点 A。
PT2＝PA· PB 连结 TA、 TB， 证：△PTB∽△PAT 切 割线 定理 推论
PB、 PD 为⊙O 的两条割线， 交⊙O于 A、 C 两点。
PA· PB＝PC· PD 过 P作 PT切⊙O于T， 用两次切割线定理 圆 幂定理
⊙O 中， 割线 PB交⊙O 于点 A，CD 为弦， P"是 CD上一点。
P"C· P"D＝r2－OP"2 PA· PB＝OP2－r2 r 为⊙O 的半径 延长 P"O 交⊙O 于M， 延长 OP"交⊙O于 N， 用相交弦定理证； 过 P 作切线用切割线定理勾股定理证 上述结论的证明都用到了相似三角形的知识， 是圆中的等角为相似提供了 条件。
以上三条定理在证明比例式、 求线段长度时将发挥重要作用。
下面我们来说圆幂定理。
过一定点 P 向⊙O 作任一直线， 交⊙O 于两点， 则自定点 P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径）
， 因为叫做点 P 对于⊙O 的幂， 所以将上述定理统称为圆幂定理。
结论：
圆内的点的幂为负数， 圆外的点的幂为正数， 圆上的点的幂为零。
八、 圆和圆的位置关系（陈静讲课内容）
（这部分内容的引入， 可以先制作好两个半径不同的圆形纸片， 然后在白纸上画一条直线，把较大圆的圆心固定在直线上， 然后使较小圆的圆心在直线上移动， 观察小圆运动到不同位置时和大圆的关系， 并指出判断依据。）
121212,ooo od=设两圆、 半径分别为r、 r。
两圆的位置关系 d与 r1和 r2之间的大小关系 图解 公共点个数
外离
d＞r1+r2
0 个
外切
d＝r1+r2
1 个
相交
r2-r1＜d＜r1+r2
2 个
内切
d＝r2-r1
1 个
内含
d＜r2-r1
0 个
同心
d＝0
0 个
需要提醒的是：
圆和圆的位置关系和 d 与 r1和 r2之间的大小关系也是等价的， 但和公共点个数不等价； 同心是内含的特殊情况。
圆与圆相切时有两种位置关系， 分别是内切和外切， 注意分类讨论。
定理 1：
若两圆相交， 则它们交点的连线称为两圆的公共弦。
两圆连心线必垂直平分公共弦。
定理证明：
分别将每个圆心和两个交点相连，
利用全等三角形证明。
实际上， 两圆相交形成的图形是轴对称图形，
两圆连心线所在直线就是其对称轴，
故必有定理 1 成立。
（可让学生先画图再测量， 猜出这个结论。）
定理 2：
若两圆相切（内切或外切）， 则连心线必过公切点， 且垂直于过公切点的公切线。
公切点：
两圆相切的切点 公切线：
两圆公共的切线。
结论：
两圆内含无公切线； 两圆内切只有一条公切线； 两圆相交有两条公切线；
两圆外切有三条公切线； 两圆外离有四条公切线。
定理证明：
从图上看这是显然的。
但我们仍需用反证法证明。
我们以两圆外切为例。
假设...
推荐访问: 第二十四章圆知识梳理 梳理 二十四章 知识