摘 要:提出了交叉套期保值的基差风险分散原理、风险非线性对冲原理和动态套期保值原理,在最小方差套期保值的基础上,建立了基于多元GARCH的多种期货对一种现货交叉套期保值模型。本模型的特点一是利用多种期货对一种现货进行交叉套期保值,分散了基差风险。二是通过期货与现货组合的协方差矩阵,反映了期货与现货之间的非线性对冲及期货合约之间的非线性叠加,解决了期货与现货价格发生较大变动时交叉套期保值的问题。三是采用动态套期保值策略保证了套期保值比率预测的准确性。在计算期货合约的协方差矩阵的同时考虑了现货对期货的影响,利用多元GARCH族模型对期货—现货收益率协方差矩阵的预测反映了收益率的非线性变化,提高了套期保值比率计算的精度。
关键词:交叉套期保值;风险叠加;最小方差套期保值;多元GARCH;基差风险
中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2009)06-0053-07
Nonlinear Portfolio Cross Hedging Model of Multi-futures vs A Single-cash
CHI Guo-tai1, WANG Yu-gang2, YANG Wan-wu3
(1.School of Management, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2.Dalian Branch, China Development Bank, Dalian 116001, China; 3.Bank of Dalian, Dalian 116001, China)
Abstract:This paper put forward principle of basis dispersion, risk nonlinear hedging and dynamic hedging, on the base of minimum variance hedge model, use the MVGARCH(1,1)-BEKK model to anticipate the variance-covariance matrix of futures and cashes portfolio, build a cross hedging model of multi-futures to single cash on the base of MVGARCH model. The character of the model is firstly that we use multiple futures to hedge single cash to disperse the basis risk. Secondly, the model reflects the nonlinear portfolio between futures and cashes. Through the covariance matrix, it reflects the nonlinear hedging between the futures and cashes and nonlinear superposition between futures to solve the problem of hedging in extreme price changing. Thirdly, we use the dynamic hedging strategy to guarantee the accuracy. In calculation the covariance matrix of futures is under the influence of cashes, and the MVGARCH model reflects the nonlinear changing of price, so the accuracy is improved.The empirical test shows that this paper’s model can effectively disperse the basis risk and increase the hedge return.
Key words:cross hedging; risk superposition; minimum variance hedging; MVGARCH; basis risk
1 引言
期货市场的风险转移功能主要通过套期保值策略来实现,期货市场套期保值的关键问题是套期保值比率的确定[1]。套期保值者利用期货市场上的合约对现货进行套期保值。但由于期货合约往往是标准化的合约,它对标的物的种类有严格的要求,因此实际上在交易所进行交易的合约只占所有商品种类的一小部分。
当期货市场上没有与某种现货相对应的期货合约时,套期保值者会采用交易所中与现货有相关关系的合约对现货进行套期保值,这种套期保值策略被成为交叉套期保值[2]。现有的交叉套期保值主要通过传统的期货套期保值方法计算套期保值比率。
现有的期货交叉套期保值模型可以分为二大类:
一是基于风险最小的套期保值优化模型。这类模型通过对期货与现货收益组合的方差求一阶导数,推导出最小方差套期保值比的表达式[3,4]。典型的研究包括Woo等人针对美国某地的原油通过回归方法计算的利用纽约交易所和伦敦交易所的原油期货进行的交叉套期保值比率[5]。Brooks等人利用传统的最小方差套期保值模型,建立了外汇期货交叉套期保值模型[6]。这类研究的缺点是无法分散基差风险,同时回归方法还会产生多重共线性的问题[6]。
二是综合考虑风险与收益的套期保值优化模型。这类模型在设定套期保值者风险厌恶程度或预期收益的基础上,通过对单位风险下期货与现货组合收益求一阶导数,推导出考虑风险和收益的套期保值比的表达式[7,8]。典型的研究包括Lien等人利用失望规避准则确定的交叉套期保值比率[9]和Foster等人建立的基于贝叶斯模型的交叉套期保值模型[10]。这类研究的缺点是人为设定套期保值者的风险厌恶参数,这就导致套期保值比率计算的准确性下降[11]。
现有研究存在的主要问题一是采用一种期货合约对一种现货进行交叉套期保值不能分散基差风险,导致套期保值的效果不理想[11]。二是现有研究大多采用静态套期保值策略,利用历史数据计算套期保值比率,而当套期保值时期较长,基差存在较强的时间序列性时,导致套期保值的效果下降[12]。三是人为设定套期保值者的风险厌恶参数,这就导致套期保值的准确性下降[11]。
本文在最小方差套期保值的基础上,推导出多种期货对一种现货的交叉套期保值模型,分散了交叉套期保值的基差风险。同时根据套期保值的动态预测原理,利用多元GARCH模型预测多种期货对一种现货的交叉套期保值模型中的参数,提高了模型预测的准确性。
2 多种期货对一种现货的交叉套期保值原理
2.1 基差风险分散原理
基差风险是交叉套期保值存在的主要风险,分散基差风险可以有效提高套期保值效果,对冲现货风险。由多种期货合约构造套期保值组合对一种现货进行交叉套期保值,可以将一种期货的基差风险在多种期货的组合中得到分散。这就是交叉套期保值的基差风险分散原理。
2.2 风险非线性组合原理
利用多种期货对一种现货进行交叉套期保值,要求在套期保值比率的确定中,不仅要考虑期货合约与其对应的现货之间的风险对冲关系,还要同时考虑多品种期货之间的风险叠加关系。这两种组合关系不是简单的线性关系,而是能够反映期货与现货价格发生较大变动时的非线性组合关系,这就是多种期货为一种现货进行套期保值的风险非线性组合原理。
2.3 动态套期保值原理
对于时间较长的套期保值,随着到期日的不断变化,基差也表现出很强的时间序列性,因此多种期货对一种现货交叉套期保值模型必须能够反映期货合约和现货合约收益率的非线性变化。通过多元GARCH族模型预测期货现货收益率组合的波动情况,一方面解决了多品种期货最小方差套期保值比的动态预测问题,另一方面由于多元GARCH模型能够将波动的聚集效应、时变方差效应以及风险的非线性对冲动态地考虑在预测过程中[13],提高了预测准确性。
2.4 原理的特征
根据基差分散原理,利用多种期货合约对一种期货进行套期保值,有效地分散了交叉套期保值的基差风险。根据风险的非线性对冲原理,计算现货合约之间的协方差矩阵及现货与期货的协方差矩阵,反映了期货合约之间的非线性叠加关系和期货与现货之间的非线性对冲关系,解决了期货与现货价格发生较大变动时交叉套期保值的问题。根据动态套期保值原理,通过多元GARCH族模型预测期货现货收益率组合的协方差矩阵,提高了模型预测的准确性。
基于非线性组合的多种期货对一种现货交叉套期保值的原理,如图1所示。
图1 基于多元GARCH的多种期货对一种现货交叉套期保值原理
3 多种期货对一种现货的交叉套期保值基本参数的确定
3.1 收益率的确定
期货价格在第t交易日的收益率Rf,t为相邻价格Ft取对数后的差,如(1)式所示
Rf,t=lnFt-lnFt-1(1)
现货价格在第t交易日的收益率Rs,t为相邻价格St取对数后的差,如(2)式所示
Rs,t=lnSt-lnSt-1(2)
采用对数收益率的好处是可以解决连续复利条件下收益率连续加减的问题。
3.2 期货—现货协方差矩阵的确定
本文采用多元GARCH模型预测期货—现货收益率的协方差矩阵,这样做的好处一是多元GARCH族模型可以准确地描述期货与期货之间,期货与现货之间风险的非线性对冲,解决了期货与现货价格发生较大变动时交叉套期保值比率确定地问题。二是利用预测来的协方差矩阵计算套期保值比率,可以解决因样本波动发生变化,导致套期保值效果失真的问题。
Bollerslev最早利用类似GARCH的模型形式研究向量波动过程,提出多元GARCH(p,q)模型[13]。Engle和Kroner等人在此基础上又提出了多元GARCH模型的BEKK形式[14],该形式减少了多元GARCH(p,q)模型中的参数个数,同时简化了变量、不同时期方差协方差的相关关系。多元GARCH模型如(3)式所示
Gt=WWT+∑pi=1AiGt-1ATi+∑qj=1BjEt-1ETt-1BTj
(3)
其中Gt为第t期资产组合协方差矩阵的预测值,表示对第t期波动性的预测值;W为方程的常系数矩阵,是n×n阶矩阵;p为波动项的滞后系数;Ai为方程的系数矩阵,是n×n阶矩阵;Gt-1为第t-1期资产组合的协方差矩阵,是方程的已知量;q为残差项的滞后系数;Bi为方程的系数矩阵,是n×n阶矩阵;Et-1为第t-1期的残差系数矩阵。
(3)式的特点在于方程的系数矩阵Ai与Bi为了保证Gt的正定而失去了具体的经济意义,但这样做就大大减少了参数的估计量,从预测的角度来说符合计量经济学的要求。因此通常不必考虑模型系数的具体形式和经济意义,只要预测过程符合检验要求即可[15]。
本文采用多元GARCH模型的BEKK形式来对期货现货组合的协方差进行预测。将(3)式中的p和q分别取1,则可得到多元GARCH(1,1)模型的BEKK形式[9]
Gt=WWT+AGt-1AT+BEt-1ETt-1BT(4)
4 多种期货对一种现货的交叉套期保值模型的建立
4.1 收益率函数的确定
对于多种期货对一种现货的套期保值来说,其期货与现货组合的收益函数为
Rh=Rs-HRTf(5)
其中Rh为期货现货组合的总收益率;Rs为现货收益率;H为不同期货合约各自相对现货的套期保值比率所组成的向量,H=(h1,h2,…,hn);Rf为不同期货合约各自的收益率组成的向量,Rf(Rf1,Rf2, …,Rfn);HRTf为多种期货组合收益率。
(5)式说明,由于套期保值者在期货市场与现货市场持有头寸的方向相反,多种期货与一种现货组合的收益率Rh就是套期保值者所持有的现货头寸收益率Rs与多种期货组合收益率HRTf之差。
4.2 收益率方差函数的确定
则根据最小方差套期保值原理[1],对(5)式两边取方差,有
Var(Rh)=Var(Rs)+HCov(Rfi,Rfj)HT-2HCov(Rs,Rf)(6)
其中Var(Rh)为期货与现货组合收益率的方差;Var(Rs)为现货收益率的方差;Cov(Rfi,Rfj)为不同期货合约之间的协方差矩阵,是n×n阶矩阵;Cov(Rs,Rf)为由每种期货收益率与现货收益率的协方差组成的向量,是n×1阶矩阵。其他符号意义同上文。
(6)式表现了套期保值者利用多种期货对一种现货进行套期保值时所面临的风险。多种期货对一种现货的最小方差套期保值的关键就是通过求解最优的套期保值比率向量H,使(6)式取得最小值。
本文通过使(6)式 对H的二阶导数为正,对H的一阶导数等于0,来求解套期保值比率向量H,使(6)式取到最小值。
4.3 套期保值比率的推导
(6)式两边对向量H取一阶导数,得
dVar(Rh)dH=2Cov(Rfi,Rfj)HT-2Cov(Rs,Rf)(7)
(6)式两边对向量H取二阶导数,得
d2Var(Rh)dH2=2Cov(Rfi,Rfj)(8)
由于Cov(Rfi,Rfj)是正定的,对于(8)式来说,其右侧矩阵的行列式恒大于0。则当(7)式为0时,(6)式会取到最小值。
令(7)式左边为0,即
0=2Cov(Rfi,Rfj)HT-2Cov(Rs,Rf)(9)
(9)式整理得
HT=Cov(Rfi,Rfj)-1Cov(Rs,Rf)(10)
(10)式就是多种期货对一种现货的最小方差套期保值公式。
(10)式的主要创新与特色在于:
一是利用多种期货合约对一种现货进行交叉套期保值分散了基差风险。在最小方差套期保值模型的基础上,引入多个期货合约收益率向量Rf代替单个合约的收益率Rfi,通过使多种期货对一种现货进行套期保值时所面临的风险最小,求解套期保值比率,解决了交叉套期保值的基差风险分散问题。
二是模型体现了期货与现货的非线性组合。(10)式中,Cov(Rfi,Rfj)是现货合约之间的协方差矩阵,体现了期货之间的非线性叠加;Cov(Rs,Rf)是多种期货和一种现货的协方差向量,体现了期货与现货之间的非线性对冲。因此,(10)式很好地反映了多种期货对一种现货的最小方差套期保值风险非线性组合原理,解决了期货与现货价格发生较大变动时交叉套期保值的问题。
4.4 套期保值比率的求解思路
这里以两种期货对一种现货进行交叉套期保值为例,说明(10)式所表示的多种期货对一种现货的最小方差套期保值公式的求解思路。
两种期货与一种现货进行套期保值的收益率协方差矩阵可以表示为
σ2f 1Cov(Rf 1,Rf 2)Cov(Rf 1,Rs)Cov(Rf 1,Rf 2)σ2f 2Cov(Rf 2,Rs)Cov(Rf 1,Rs)Cov(Rf 2,Rs)σ2s(11)
其中G为两种期货与一种现货进行套期保值的收益率协方差矩阵;σ2f 1为第1种期货收益率的方差;σ2f 2为第2种期货收益率的方差;Cov(Rf 1,Rf 2)为两种期货收益率的协方差值;Cov(Rf 1,Rs)为第1种期货与现货的收益率协方差值;Cov(Rf 2,Rs)为第2种期货与现货的收益率协方差值;σ2s为现货收益率的方差。
根据(11)式右侧左下角的σ2s将(11)式可分割为4部分,其中:
左上角的矩阵是期货合约之间的协方差矩阵,可以表示为
Cov(Rf 1,Rf 2)=σ2f 1Cov(Rf 1,Rf 2)Cov(Rf 1,Rf 2)σ2f 2(12)
右上角的矩阵是各个期货收益率与现货收益率之间的协方差矩阵,可以表示为
Cov(Rf,Rs)=Cov(Rf 1,Rs)Cov(Rf 2,Rs)(13)
那么(11)式 就可以表示为
G=Cov(Rfi,Rfj)Cov(Rf,Rs)
Cov(Rf,Rs)Tσ2s(14)
由于,Cov(Rfi,Rfj)及Cov(Rf,Rs)均是(10)式的主要参数。因此,可以通过计算(14)式所表示的期货与现货组合的协方差矩阵G,得到期货合约之间的协方差矩阵Cov(Rfi,Rfj)和各个期货收益率与现货收益率之间的协方差矩阵Cov(Rf,Rs),进而求解套期保值比率向量。
根据本文所提出的动态套期保值原理,多品种期货合约套期保值模型必须能够反映期货合约和现货合约收益率的非线性变化。因此,本文利用多元GARCH族模型预测期货现货收益率组合的协方差均阵G,然后对G进行分解,得到期货合约之间的协方差矩阵Cov(Rfi,Rfj)和各个期货收益率与现货收益率之间的协方差矩阵Cov(Rf,Rs)。再将期货合约的Cov(Rfi,Rfj)的逆矩阵Cov(Rfi,Rfj)-1,以及期货和现货的协方差向量Cov(Rf,Rs),分别代入到(10)式,即可得到多品种期货对一种现货的最优套期保值比率向量H。
这就是多种期货对一种现货交叉套期保值模型的求解思路。这种思路有二个主要特点:
一是计算的期货合约的协方差矩阵考虑了现货的影响,提高了套期保值比率计算的精度。本文在求解套期比率向量的时候,不是单独计算期货合约之间的协方差矩阵和各个期货收益率与现货收益率之间的协方差矩阵,而是通过GARCH模型预测期货—现货收益率协方差矩阵,计算的期货合约的协方差矩阵考虑了现货的影响,提高套期保值比率计算的精度。
二是通过对期货—现货收益率协方差矩阵的预测反映期货与现货收益率的非线性变化。通过多元GARCH族模型预测期货现货收益率组合的波动情况,一方面解决了多品种期货最小方差套期保值比的动态预测问题,另一方面由于多元GARCH模型能够将波动的聚集效应、时变方差效应以及风险的非线性对冲动态地考虑在预测过程中[9],提高了预测准确性。
5 实证研究
5.1 样本数据的采集及处理
本文采用2004年9月24日至2005年7月25日共193个交易日的大连商品交易所大豆s0507和豆粕m0508期货合约构造套期保值组合来对豆油现货进行交叉套期保值。其中大豆s0507和豆粕m0508数据来自大连商品交易所网站,豆油现货的数据来自大连商品交易所交割部,各期货与现货的价格及收益率数据如表1所示。
由于套期保值时期较长,在这段时间中,期货与现货收益率的波动上将会发生较大的变动,因此必须采用动态套期保值策略来弥补这种变动所产生的影响。
表1 期货与现货的价格及收益率
日期t大豆期货s0507豆粕期货m0508豆油现货
F1,tRf1,tF2,tRf2,tStRs,t
200409232664-2330-6540-
200409242658-0.00223450.0066520-0.003
200409252639-0.00723750.0136500-0.003
…………………
200507132872-0.0102631-0.00357000.007
2005071428890.00626350.00257200.004
数据来源:大连商品交易所网站(.cn),2006-02-21。
现有研究表明,对于动态套期保值策略,套期保值比率每周变化一次是最理想的[12]。由于期货和现货是每周交易五天,因此本文以每五天作为一周,以40天的历史数据为步长,计算第41天的套期保值比率h,做为该周的套期保值比率,来对现货进行套期保值。
本文通过计算未来31周每周的套期保值比率,对2004年11月26日至2005年7月14日的豆油现货进行套期保值。
5.2 套期保值比率的计算
这里以第1周的套期保值比率计算为例,说明套期保值比率的计算。
(1)期货—现货收益率协方差矩阵的预测
利用表1中2004年9月24日至2004年11月25日的40个工作日的大豆期货收益率序列Rf1,t、豆粕期货收益率序列Rf2,t和现货收益率序列Rs,t,运用(4)式对2004年11月6日的期货—现货收益率协方差矩阵进行预测,得到常数阵如G41所示
G41=0.000010170.000007680.000002920.000007680.00002140.000007860.000002920.000007860.00006346(15)
(2)套期保值比率的求解
根据本文提出的套期保值比率的求解思路,将根据(15)式期货现货收益率组合协方差矩阵G41分解为4部分。求得多品种期货对一种现货的交叉套期保值比率向量的转置
HT=134880-4841048410641000.000002920.00000786=0.01340.3425
那么,2005年11月26日的套期保值向量为H=(0.0134,0.3425),作为第1周的套期保值比率向量。其中大豆期货s0507对豆油的套期保值比率h1为0.0134;豆粕期货m0508对豆油的套期保值比率h2为0.3425。其余30周的套期保值比率同理计算,计算结果列于表2。
表2 套期保值比率
日期大豆s0507的套期保值比率h1豆粕m0508的套期保值比率h2
第1周0.01340.3425
第2周-0.67842.4961
………
第30周1.2113-1.1921
第31周-0.1464-0.0158
5.3 对比研究
5.3.1 对比研究的对象
本文以大豆期货对豆油现货的交叉套期保值和豆粕期货对豆油现货的交叉套期保值作为比较对象。这里豆粕对豆油、大豆对豆粕的套期保值比率,是利用表1大豆期货收益率Rf1,t、豆粕期货收益率Rf2,t以及大豆现货收益率Rs,通过传统的最小方差套期保值的方法得到[2]。
5.3.2 对比分析原则
本文通过比较各种套期保值方法在套期保值期间的总损益来比较套期保值的效果。套期保值期间的总损益是每一天套期保值组合价值变动的和,如(16)式所示。
I=∑152t=1[(St-St-1)-h1,t×(F1,t-F1,t-1)-
h2,t×(F2,t-F2,t-1)] (16)
其中I为套期保值期间的总损益。其余符号意义同上。
将表1 中相关数据代入到(16)式,即可得到本文套期保值的总损益I,等于-309。其余方法计算的总损益同理,结果如表3所示。
表3 各种套期保值比率与总损益比较
套期保值模型套期保值比率h套期保值组合的总损益I
不进行套期保值0-600
大豆期货对豆油现货的交叉套期保值0.077-619
豆粕期货对豆油现货的交叉套期保值0.336-729
本研究--309
5.3.3 对比分析结论
从表3中可以看出,本研究模型的总损益最高,高达-309。这说明根据本文的套期保值方法构建多种期货合约对一种现货进行的交叉套期保值,有效地分散了基差风险,优于单个品种的交叉套期保值,同时动态套期保值策略,提高了套期保值比率估计的准确性。这就为期货市场交叉套期保值提供了新思路。
6 结论
(1)提出了交叉套期保值的基差风险分散原理、风险非线性组合原理和动态套期保值原理。根据最小方差套期保值模型的思想,通过使多种期货对一种现货进行套期保值时面临的风险最小,建立了基于非线性组合的多种期货对一种现货交叉套期保值模型。
(2)利用多种期货合约对一种现货进行交叉套期保值分散了基差风险。在最小方差套期保值模型的基础上,引入多个期货合约收益率向量代替单个合约的收益率,改变了现有研究只用一种期货对一种现货进行交叉套期保值的做法,分散了集中在一种期货上的基差风险。
(3)本研究模型体现了期货与现货的非线性组合。通过期货与现货组合的协方差矩阵,反映了期货与现货之间的非线性对冲以及期货合约之间的非线性叠加,解决了期货与现货价格发生较大变动时交叉套期保值的问题。
(4)采用动态套期保值策略保证了套期保值比率预测的准确性。在计算期货合约的协方差矩阵的同时考虑了现货对期货的影响,利用多元GARCH族模型对期货—现货收益率协方差矩阵的预测反映了期货与现货收益率的非线性变化,提高了套期保值比率计算的精度。
(5)本研究所建立的模型可以有效分散基差风险提高套期保值收益。实证结果表明本研究套期保值比率的总损益高于现有研究,这一方面为没有期货交易的现货提供了套期保值工具,另一方面可以保证套期保值的效果。这就为期货市场交叉套期保值提供了新思路。
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